2023-03-30 11:54:59
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一、自相关函数 示例
给定一个 " 周期函数 " :
x(n) = A sin (omega n)其中
omega = cfrac{2pi}{N} , 求该 " 周期函数 " 的 " 自相关函数 "
r_x(m)" 周期信号 " 的 自相关函数 公式 :
r_x(m) = cfrac{1}{N}sum_{n = 0}^{N-1}x^*(n)x(n m)参考 【数字信号处理】相关函数 ( 周期信号 | 周期信号的自相关函数 ) 博客 ;
该信号是 " 实信号 " , 不是 " 复信号 " , 不需要使用共轭
^* ;
r_x(m) = cfrac{1}{N}sum_{n = 0}^{N-1}x(n)x(n m)将
x(n) = A sin (omega n)代入到上面的式子中 ;
r_x(m) = cfrac{1}{N}sum_{n = 0}^{N-1} [ A sin (omega n) ] [ A sin (omega ( n m )) ]展开式子 , 计算得到 :
r_x(m) = cfrac{1}{N}sum_{n = 0}^{N-1} A^2 sin (omega n) sin ( omega n omega m )使用 三角函数 和差化积 公式 , 参考 百度百科 https://baike.baidu.com/item/和差化积/6973039 ;
r_x(m) = cfrac{A^2}{N} cos omega m sum_{n = 0}^{N-1} sin^2 omega n cfrac{A^2}{N} sin omega m sum_{n = 0}^{N-1} sin omega n cos omega n下面的式子
sum_{n = 0}^{N-1} sin omega n cos omega n = 0值为
0 ,
当
n = 0 时 ,
sin omega n cos omega n = 0 ;
当
n = 1 时 , 与
n = N-1 时 , 抵消了 ;
当
n = 2 时 , 与
n = N-2 时 , 抵消了 ;
则最终结果为 0 , 则有 :
cfrac{A^2}{N} sin omega m sum_{n = 0}^{N-1} sin omega n cos omega n = 0当前的推导相关函数为 :
r_x(m) = cfrac{A^2}{N} cos omega m sum_{n = 0}^{N-1} sin^2 omega n根据 三角函数公式 :
sin^2 alpha=cfrac{(1-cos2alpha)}{2}可得 :
sin^2 omega n = cfrac{(1- cos 2 omega n)}{2}带入到相关函数中 , 可得 :
r_x(m) = cfrac{A^2}{N} cos omega m sum_{n = 0}^{N-1} cfrac{1}{2} (1 - cos 2 omega n)下面的式子
sum_{n = 0}^{N-1} cos 2 omega n = 0值为
0 ,
则最终结果为 :
r_x(m) = cfrac{A^2}{2} cos omega m
