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一、相关函数应用场景
求下面信号的 " 自相关函数 " :
x(n) = sin(2pi fn) N(n)其中
N(n) 为 高斯白噪声 ;
高斯白噪声 符合 正态分布 特性 , 其 均值为
0 , 方差为
1 , 其功率谱密度是白的 , 在所有的频率上 , 其功率都相同 ;
令
s(n) = sin(2pi fn)则有
x(n) = s(n) N(n)自相关函数 公式为 :
r_x(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} x^*(n) x(n m)代入
x(n) = s(n) N(n) , 求该信号的自相关函数 , 由于都是 实型号 , 不存在共轭 , 式子变为 :
r_x(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} [s(n) N(n)] [s(n m) N(n m)]展开式子 :
r_x(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} [s(n) s(n m) N(n) s(n m) s(n)N(n m) N(n)N(n m) ]进一步将加和符号展开 :
r_x(m) = sum_{n=-infty}^{ infty} s(n) s(n m) sum_{n=-infty}^{ infty}N(n) s(n m) sum_{n=-infty}^{ infty}s(n)N(n m) sum_{n=-infty}^{ infty}N(n)N(n m)其中 :
sum_{n=-infty}^{ infty} s(n) s(n m) = r_s(m)sum_{n=-infty}^{ infty} N(n) s(n m) = r_{Ns}(m)sum_{n=-infty}^{ infty} s(n)N(n m) = r_{sN}(m)sum_{n=-infty}^{ infty} N(n)N(n m) = r_{N}(m)最终得到结果 :
r_x(m) = r_s(m) r_{Ns}(m) r_{sN}(m) r_{N}(m)r_{Ns}(m) approx 0 ,
r_{sN}(m) approx 0 ,
r_{N}(m) = 白噪声方差 ;
因此有
r_{x}(m) = r_s(m) r_N(m) ;
由于 高斯白噪声是随机的 ,
噪声信号 是 功率信号 , 在
m = 0 时 , 是完全相关的 , 相关函数值就是功率值 ,
但是只要
m 不为
0 , 噪声信号错开了一点 , 那就是完全不相关了 ,
自相关函数 与 功率谱密度 是一对 傅里叶变换对 , 如果自相关函数具备该特点 ,
在
m = 0 时 , 相当于
delta(n) 信号 ,
delta(n) 信号的傅里叶变换为
1 , 其在所有的频率上其 功率密度函数 都是
1 , 在所有的频率上都是有功率分布的 ;
在噪声中检测信号 ,
r_N(m) 只有在
m=0 时有值 ,
一旦
m 增加或减小 ( 绝对值增加 ) , 该
r_N(m) 值会趋于
0 ,
剩下的那个就可以检测出来了 ;
