【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换与反变换 | 序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系 | 序列傅里叶变换性质 )

文章目录

• 一、序列傅里叶变换与反变换
• 二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系
• 三、序列傅里叶变换性质

一、序列傅里叶变换与反变换

在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系

序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :

• 如果 "

序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;

• 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "

序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数

后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

序列绝对可和可以表示成 :

三、序列傅里叶变换性质

的傅里叶变换是

, 有如下性质 :

• 连续性 : 序列

是离散的 , 其 傅里叶变换

对

来说是连续的 ;

• 周期性 :

是周期的 , 其周期是

, 其主值区间为

;

其中

是整数 ;

, 将

带入即可得到其是以

为周期的 ;

• 周期独立性 : 在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 :
  • 数字角频率域 , 即

  omega

  域

  • 直流分量角频率 在

  omega = 2Mpi

  ,

  pi

  的偶数被上 ;

  • 信号 最高角频率 在

  omega = (2M 1 )pi

  ,

  pi

  的奇数倍 上 ;

数字角频率

, 与 模拟角频率

之间的关系 :

直流就是

中的 数字频率

;

直流的时候 , 数字频率

为

, 则数字角频率

也为

;

证明 " 直流分量角频率 在

" :

直流分量 角频率 在

的偶数倍上 , 角频率 是以

为周期的 , 周期信号的 组织是

,

在 横轴为

角频率 , 纵轴为

的坐标系中 , 横坐标

位置的值对应

和

, 这

个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在

的偶数倍上 ;

证明 " 最高频率分量 在

的奇数倍上 " :

根据

, 计算

点对应的 模拟频率 ,

模拟角频率

, 其中

是采样周期 , 单位是秒 ;

则采样率

, 单位是

, 每秒采集多少样本 ;

, 其中

是采样角频率 ;

模拟角频率是

, 其中

是模拟角频率 ,

是模拟频率 ;

根据采样定理 ,

,

是采样角频率 要大于等于

最高频率 ;

最高频率 就是

, 其中

是采样角频率 ;

参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;