文章目录
- 一、求 sinωn 傅里叶变换
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- 0、sinωn 序列分析
- 1、傅里叶变换与反变换公式介绍
- 2、复变函数欧拉公式介绍
- 3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程
一、求 sinωn 傅里叶变换
求
sinomega_0n 的傅里叶变换
SFT[sinomega_0n] ?
0、sinωn 序列分析
sum_{n=-infty}^{ infty}|sinomega_0n| = inftysinomega_0n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为
infty , 但是其有傅里叶变换 ;
绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :
x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 "
x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数
delta(omega) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
1、傅里叶变换与反变换公式介绍
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X(e^{jomega}) = sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) e^{-j omega n}傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x(n) = cfrac{1}{2pi} int_{-pi} ^pi X( e^{j omega } )e^{j omega k} d omega2、复变函数欧拉公式介绍
复变函数 欧拉公式 :
e^{ix} = cos x i sin x ①e^{-ix} = cos x - i sin x ②单位复指数序列特点 :
e^{j (omega _0 n 2kpi n)} = e^{j omega_0 n} k = 0, pm1 , pm 2, cdots对
omega 来说 一定是以
2pi 为周期 ;
① 与 ② 相加 , 可以得到 :
cos x = cfrac{e^{ix} e^{-ix}}{2} 公式③① 与 ② 相减 , 可以得到 :
sin x = cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} 公式④可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066
3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程
直接 对
sin omega_0 n使用
sin x = cfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} 公式④公式 ,
可以得到 :
sin omega_0 n = cfrac{e^{iomega_0 n} - e^{-iomega_0 n}}{2i} ⑤求上述
cfrac{e^{iomega_0 n} - e^{-iomega_0 n}}{2i}序列的傅里叶变换 ,
在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了
e^{iomega_0 n} 的傅里叶变换 , 结果是 :
SFT[e^{j omega_0 n}] = sum_{n=-infty}^{ infty} e^{ -j ( omega - omega_0 ) } =2 pi widetilde{delta} ( omega - omega_0 )将
j 替换成
i 可以得到 :
SFT[e^{i omega_0 n}] = sum_{n=-infty}^{ infty} e^{ -i ( omega - omega_0 ) } =2 pi widetilde{delta} ( omega - omega_0 ) ⑥将
omega_0 替换成
-omega_0 可以得到 :
SFT[e^{i ( -omega_0 ) n}] = sum_{n=-infty}^{ infty} e^{ -i ( omega omega_0 ) } =2 pi widetilde{delta} ( omega omega_0 ) ⑦将 ⑥ 和 ⑦ 带入到 ⑤ 式子中 , 可以得到 :
SFT[sin omega_0 n] = cfrac{2 pi widetilde{delta} ( omega - omega_0 ) - 2 pi widetilde{delta} ( omega omega_0 ) }{2i}最终得到 :
SFT[sin omega_0 n] = cfrac{ pi widetilde{delta} ( omega - omega_0 ) - pi widetilde{delta} ( omega omega_0 ) }{i}将
pi 提取出来 , 得到 :
SFT[sin omega_0 n] = cfrac{ pi [widetilde{delta} ( omega - omega_0 ) - widetilde{delta} ( omega omega_0 )] }{i}
