【数字信号处理】傅里叶变换性质 ( 序列傅里叶变换共轭对称性质示例 | 证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列 )

2023-03-30 13:12:22 浏览数 (1)

文章目录

  • 一、前置公式定理
    • 1、相关元素说明
      • x(n) 分解为实部序列与虚部序列
      • x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )
      • X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列
      • X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )
    • 2、序列对称分解定理
    • 3、傅里叶变换定义
  • 二、证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列
  • 1、共轭对称序列分解
  • 2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换
  • 3、求 x_e(n) 的傅里叶变换

一、前置公式定理

1、相关元素说明

x(n) 分解为实部序列与虚部序列

x(n)

可以分解为 实部序列

x_R(n)

和 虚部序列

j x_I(n)

:

x(n) = x_R(n) j x_I(n)

x(n) 分解为共轭对称序列与共轭反对称序列 ( 序列对称分解 )

根据序列对称分解定理 ,

x(n)

还可以由序列的 共轭对称序列

x_e(n)

和 共轭反对称序列

x_o(n)

之和表示 ;

x(n) = x_e(n) x_o(n)

X(e^{jω}) 分解为实部序列与虚部序列

x(n)

的傅里叶变换

X(e^{jomega})

也可以分解为 实部序列

X_R(e^{jomega})

和 虚部序列

j X_I(e^{jomega})

:

X(e^{jomega}) =X_R(e^{jomega}) j X_I(e^{jomega})

X(e^{jω}) 分解为共轭对称与反对称序列的傅里叶变换 ( 频域共轭对称分解 )

根据 傅里叶变换的共轭对称分解 ,

x(n)

的傅里叶变换 , 可以由

x(n)

的 共轭对称序列 的傅里叶变换

X_e(e^{jomega})

与

x(n)

的 共轭反对称序列 的傅里叶变换

X_o(e^{jomega})

之和表示 ;

X(e^{jomega}) = X_e(e^{jomega}) X_o(e^{jomega})

2、序列对称分解定理

任意一个 序列

x(n)

, 都可以使用其 共轭对称序列

x_e(n)

与 共轭反对称序列

x_o(n)

之和来表示 ;

x(n) = x_e(n) x_o(n)

共轭对称序列

x_e(n)

与 原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_e(n) = 0.5[x(n) x^*(-n)]

共轭反对称序列

x_o(n)

与 原序列

x(n)

之间的关系如下 :

x_o(n) = 0.5[x(n) - x^*(-n)]

3、傅里叶变换定义

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

x(n)

信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

x(n)

是绝对可和的 , 满足如下条件 :

sum_{n=-infty}^{ infty}|x(n)|< infty

连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :

X(e^{jomega}) = sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) e^{-j omega n}

就是

x(n)

的 序列傅里叶变换 SFT ;

omega

是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;

X(e^{j omega})

是 实的连续的 变量

omega

的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;

X(e^{jomega}) = X_g(e^{jomega}) jX_l(e^{jomega}) = |X(e^{jomega})|e^{jtheta(omega)}
|X(e^{jomega})|

模 是其 " 幅频特性 " ,

e^{jtheta(omega)}

相角 是其 " 相频特性 " ,

其中

theta(omega) = arg(X(e^{jomega}))

二、证明 原序列实部 x_R(n) 的 傅里叶变换 是 原序列傅里叶变换 的 共轭对称序列

证明下面的公式 :

x(n)

序列的 实部

x_R(n)

的 傅里叶变换 , 就是

x(n)

的 傅里叶变换

X(e^{j omega})

的 共轭对称序列

X_e(e^{j omega})

;

x_R(n)

的 傅里叶变换

X_e(e^{j omega})

具备 共轭对称性 ;

x_R(n) overset{SFT} longleftrightarrow X_e(e^{j omega})

上述证明 原序列的实部

x_R(n)

就是 原序列的 共轭对称序列

x_e(n)

即可 ;

通过证明

x_R(n) = x_e(n) = 0.5 times [ x(n) x^*(n) ]

即可 ;

1、共轭对称序列分解

根据 序列对称分解定理 , 可得

x_e(n) = 0.5[x(n) x^*(-n)]

对

x_e(n)

求傅里叶变换 , 也就是对

0.5[x(n) x^*(-n)]

求傅里叶变换 ;

2、求 x^*(-n) 的傅里叶变换

根据傅里叶变换定义 :

X(e^{jomega}) = sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) e^{-j omega n}

可得

x^*(-n)

的傅里叶变换 是

sum_{n=-infty}^{ infty} x^*(-n) e^{-j omega n} ①

令

-n = n'

, 则 上式 ① 可以写成 :

sum_{n=-infty}^{ infty} x^*(-n) e^{-j omega n} = sum_{n=-infty}^{ infty} x^*(n') e^{j omega n'} ②

将

n'

写成

n

, 可以得到下面的式子 :

sum_{n=-infty}^{ infty} x^*(n) e^{j omega n} ③

根据

( a b )^* = a^* b^*

公式 , 将上式 ③ 中的 共轭

^*

提取到外面 :

[ sum_{n=-infty}^{ infty} x(n) e^{j omega n} ] ^* ③

可以得到上面的 ③ 式就是

X^*(e^{jomega})

;

3、求 x_e(n) 的傅里叶变换

对

x_e(n)

求傅里叶变换 , 也就是对

0.5[x(n) x^*(-n)]

求傅里叶变换 ;

其中

x(n)

的傅里叶变换是

X(e^{jomega})

,

x^*(-n)

的傅里叶变换是

X^*(e^{jomega})

;

综合上述 , 可得 :

SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{jomega}) 0.5 X^*(e^{jomega})
X(e^{jomega})

的虚部是正的 ,

X^*(e^{jomega})

的虚部是负的 , 这两个虚部正好抵消 , 只剩下了实部 ,

而

X(e^{jomega})

可以分解为实部

X_R(e^{jomega})

和 虚部

j X_I(e^{jomega})

, 虚部抵消 , 只剩下实部 ,

X(e^{jomega}) =X_R(e^{jomega}) j X_I(e^{jomega})

因此得到 :

SFT[ x_e(n) ] = 0.5 X(e^{jomega}) 0.5 X^*(e^{jomega}) = X_R(e^{j omega})

对

x_e(n)

求傅里叶变换 , 最终得到

x_R(n)

的傅里叶变换 ;

fs sequence 变量 博客 函数

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