文章目录
- 一、问题分析
- 二、动态规划算法设计
- 1、动态规划状态 State
- 2、动态规划初始化 Initialize
- 3、动态规划方程 Function
- 4、动态规划答案 Answer
- 三、代码示例
LeetCode 63. 不同路径 II : https://leetcode.cn/problems/unique-paths-ii/
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。
现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？
网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
一、问题分析
在 m x n 的 二维坐标 网格中 , 出发位置是 ( 0 , 0 ) , 终点位置是 ( m - 1 , n - 1 ) ;
存在障碍物 : 网格中的某些节点存在障碍物 , 无法行走 ;
运动具有方向性 : 只能 向右 / 向下 行走 ;
上述问题 求的是 路径数 , 对应的是 动态规划 的 方案数 ,
将 大规模问题 拆解成 小规模问题 :
- ( i - 1 , j ) 位置是 ( i , j ) 位置 上面的点 , 从该点 向下走 1 步 , 即可走到 ( i , j ) 位置 ;
- ( i , j - 1 ) 位置是 ( i , j ) 位置 左边的点 , 从该点 向右走 1 步 , 即可走到 ( i , j ) 位置 ;
如果要走到 ( i , j ) 位置 , 只能是 从 ( i - 1 , j ) 位置 或 ( i , j - 1 ) 位置 过来 ;
大规模问题 与 小规模问题 的依赖关系 : 从 出发位置是 ( 0 , 0 ) 到 ( i , j ) 位置 的路径数 , 依赖于
- 从 出发位置是 ( 0 , 0 ) 到 ( i - 1 , j ) 位置 的路径数
- 从 出发位置是 ( 0 , 0 ) 到 ( i , j - 1 ) 位置 的路径数
该问题 与 【算法】动态规划 ③ ( LeetCode 62.不同路径 | 问题分析 | 自顶向下的动态规划 | 自底向上的动态规划 ) 博客问题的唯一区别就是 中间存在了 障碍物 ;
没有障碍时 ,
- 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最左侧一列 位置的 方案数为 1 , 因为只能朝下面走 ;
- 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最上面一行 位置的 方案数为 1 , 因为只能朝右侧走 ;
如果有障碍时 ,
- 如果障碍在第一列 , 则 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最左侧一列 普通坐标时方案数为 1 , 如果 走到该列的 障碍位置的 方案数为 0 , 后面的坐标方案数都为 0 ;
- 如果障碍在第一行 , 则 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最上面一行 普通坐标时方案数为 1 , 如果 走到该列的 障碍位置的 方案数为 0 , 后面的坐标方案数都为 0 ;
在计算时 ,
如果没有障碍 , 从 出发位置是 ( 0 , 0 ) 到 ( i , j ) 位置 的路径数 , 依赖于
- 从 出发位置是 ( 0 , 0 ) 到 ( i - 1 , j ) 位置 的路径数
- 从 出发位置是 ( 0 , 0 ) 到 ( i , j - 1 ) 位置 的路径数
如果遇到障碍 , 障碍位置的的方案数为 0 ;
二、动态规划算法设计
1、动态规划状态 State
使用 二维数组 dp 保存 动态规划的 状态 State ,
dp[i][j] 表示 从 (0, 0) 位置出发 , 到 (i, j) 位置的方案总数 ;
2、动态规划初始化 Initialize
动态规划初始化 Initialize :
- 如果障碍在第一列 , 则 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最左侧一列 普通坐标时方案数为 1 , 如果 走到该列的 障碍位置的 方案数为 0 , 后面的坐标方案数都为 0 ;
- 如果障碍在第一行 , 则 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最上面一行 普通坐标时方案数为 1 , 如果 走到该列的 障碍位置的 方案数为 0 , 后面的坐标方案数都为 0 ;
3、动态规划方程 Function
由于 运动时 , 只能 向右 或 向下 走 , 走到 (i , j) 只能是从 左边 (i - 1, j) 或 上边 (i , j-1) 位置走过来 ,
这里可以得到依赖关系 : dp[i][j] = dp[i-1][j] dp[i][j-1]
如果遇到障碍物 , 则需要 continue 跳过本次计算 , 继续执行下一次计算 ;
4、动态规划答案 Answer
最终的 从 左上角 (0 , 0) 位置 走到 右下角 (m , n) 位置 的方案总数就是 状态 State 中的 dp[m - 1][n - 1] 数值 ;
三、代码示例
代码示例 :
代码语言：javascript复制class Solution {
public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
// 验证函数参数
if (obstacleGrid == null || obstacleGrid.length == 0) {
return 0;
}
// 1. 动态规划状态 State
// dp[i][j] 表示 从 (0, 0) 位置出发 , 到 (i, j) 位置的方案总数 ;
int m = obstacleGrid.length, n = obstacleGrid[0].length;
int[][] dp = new int[m][n];
// 2. 动态规划初始化 Initialize
// 如果障碍在第一列 , 则 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最左侧一列 普通坐标时方案数为 1 ,
// 如果 走到该列的 障碍位置的 方案数为 0 , 后面的坐标方案数都为 0 ;
for (int i = 0; i < m ; i ) {
if (obstacleGrid[i][0] == 1) {
break;
}
dp[i][0] = 1;
}
// 如果障碍在第一行 , 则 从 ( 0 , 0 ) 位置 走到 最上面一行 普通坐标时方案数为 1 ,
// 如果 走到该列的 障碍位置的 方案数为 0 , 后面的坐标方案数都为 0 ;
for (int j = 0; j < n; j ) {
if (obstacleGrid[0][j] == 1) {
break;
}
dp[0][j] = 1;
}
// 3. 动态规划方程 Function
// 运动时 , 只能 向右 或 向下 走 , 走到 (i , j) 只能是从 左边 (i - 1, j) 或 上边 (i , j-1) 位置走过来 ,
// 这里可以得到依赖关系 : dp[i][j] = dp[i-1][j] dp[i][j-1]
// 如果遇到障碍物 , 则需要 continue 跳过本次计算 , 继续执行下一次计算 ;
for (int i = 1; i < m; i ) {
for (int j = 1; j < n; j ) {
if (obstacleGrid[i][j] == 1) {
continue;
}
dp[i][j] = dp[i - 1][j] dp[i][j - 1];
}
}
// 4. 动态规划答案 Answer
return dp[m - 1][n - 1];
}
public static void main(String[] args) {
// 1 的位置是障碍物
int[][] obstacleGrid = {{0,0,0}, {0,1,0}, {0,0,0}};
int result = new Solution().uniquePathsWithObstacles(obstacleGrid);
System.out.println("方案总数为 " result);
}
}执行结果 :
代码语言：javascript复制方案总数为 2
