2023-04-21 21:31:42
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连续信源的熵
由于连续信源信号幅度取值无限性, 要精确表示这样的信号, 理论上需要无穷个bit才行。即连续信源的绝对熵为
infty 。
仿照离散信源熵的定义, 有连续信源的熵（相对熵）定义为
H(X)=-int_{-infty}^{infty} f(x) log (f(x)) d x其中
f(x) 为连续信源信号
mathbf{X} 的概率密度函数。连续信源的 (相对) 熵可正可负。
R(D) 的定义域
率失真的定义域问题就是在信源和失真函数已知的情况下，讨论允许平均失真度
bar{D} 的最小和最大取值问题。
由于平均失真度
bar{D} 是非负实数
dleft(x_{i}, y_{j}right) 的数学期望, 因此
bar{D} 也是非负的实数，即
bar{D} geq 0 , 故
bar{D} 的下界是 0 。允许平均失真度能否达到其下限值0, 与单个符号的失真函数有关。
D_{min } 和
Rleft(D_{min }right)信源的最小平均失真度:
D_{min }=sum_{i=1}^{n} pleft(x_{i}right) min _{j} dleft(x_{i}, y_{j}right)只有当失真矩阵的每一行至少有一个
mathbf{0} 元素时,信源的平均失真度才能达到下限值
mathbf{0} 。
当
boldsymbol{D}_{text {min }}=mathbf{0} , 即信源不允许任何失真时,信息率至少应等于信源输出的平均信息量一信息熵。
R(0)=H(X)对于连续信源
Rleft(D_{min }right)=lim _{D rightarrow 0} R(D) rightarrow infty因为实际信道总是有干扰，其容量有限，要无失真地传送连续信息是不可能的。
当允许有一定失真时,
R(D) 将为有限值, 传送才是可能的。
mathbf{R}(mathbf{D}) 的定义域为
[D_{text {min }}, D_{text {max }}] 。
D_{text {min }}=0, quad Rleft(D_{min }right)=H(X)- 当 D ≥ D max D geq D_{text {max }} D≥Dmax 时, quad R(D)=0
- 当
0 leq D leq D_{text {max }} 时，
0lt R(D)lt H(X)由于
I(X, Y) 是非负函数,而
R(D) 是在约束条件下的
I(X, Y) 的最小值, 所以
R(D) 也是一个非负函数, 它的下限值是零。
boldsymbol{R}(D) geq 0D_{text {max }} ：是定义域的上限。
D_{text {max }} 是满足 R(D)=0 时所有的平均失真度中的最小值。
D_{text {max }}=min _{R(D)=0} D由于
I(X, Y)=0 的充要条件是 X 与 Y 统计独立, 即:
begin{array}{c} pleft(y_{j} mid x_{i}right)=pleft(y_{j}right) \ D_{max }=min _{pleft(y_{j}right)} sum_{i} sum_{j} pleft(x_{i}right) pleft(y_{j}right) dleft(x_{i}, y_{j}right) \ =min _{pleft(y_{j}right)} sum_{j} pleft(y_{j}right) sum_{i} pleft(x_{i}right) dleft(x_{i}, y_{j}right) \ D_{max }=min _{j=1,2 cdots m} sum_{i=1}^{n} pleft(x_{i}right) dleft(x_{i}, y_{j}right) end{array} 例: 设输入输出符号表为
mathbf{X}=mathbf{Y}={mathbf{0}, 1} , 输入概率分布
p(x)={1 / 3,2 / 3} , 失真矩阵
d=left[begin{array}{ll} 0 & 1 \ 1 & 0 end{array}right]
求
mathbf{D}_{min } 和
mathbf{D}_{max }
解：失真矩阵的每一行至少有一个 0 元素时,
D_{min }=0begin{array}{l} D_{max }=min _{j=1,2} sum_{i=1}^{2} p_{i} d_{i j} \ =min _{j}left(frac{1}{3} times 0 frac{2}{3} times 1, frac{1}{3} times 1 frac{2}{3} times 0right) \ =min _{j}left(frac{2}{3}, frac{1}{3}right)=frac{1}{3} end{array} 例: 设输入输出符号表为
mathbf{X}=mathbf{Y}={mathbf{0}, mathbf{1}} , 输入概率分布
p(x)={1 / 3,2 / 3} , 失真矩阵
d=left[begin{array}{ll} 1 / 2 & 1 \ 2 & 1 end{array}right]
求
D_{min } 和
mathbf{D}_{text {max }}
解:
begin{array}{l} D_{min }=sum_{i=1}^{n} pleft(x_{i}right) min _{j} dleft(x_{i}, y_{j}right) \ =frac{1}{3} times frac{1}{2} frac{2}{3} times 1=frac{5}{6} \ D_{max }=min _{j=1,2} sum_{i=1}^{2} p_{i} d_{i j}=min _{j}left(frac{1}{3} times frac{1}{2} frac{2}{3} times 2, frac{1}{3} times 1 frac{2}{3} times 1right) \ =min _{j}left(frac{3}{2}, 1right)=1 \ end{array}参考文献：
- Proakis, John G., et al. Communication systems engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- Proakis, John G., et al. SOLUTIONS MANUAL Communication Systems Engineering. Vol. 2. New Jersey: Prentice Hall, 1994.
- 周炯槃. 通信原理（第3版）[M]. 北京：北京邮电大学出版社, 2008.
- 樊昌信, 曹丽娜. 通信原理（第7版） [M]. 北京：国防工业出版社, 2012.
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