题目描述
这是 LeetCode 上的「1218. 最长定差子序列」，难度为「中等」。
Tag : 「贪心」、「序列 DP」、「状态机 DP」、「哈希表」
给你一个整数数组 arr 和一个整数 difference，请你找出并返回 arr 中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于 difference 。
子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从 arr 派生出来的序列。
示例 1：
代码语言：javascript复制输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [1,2,3,4]。
示例 2：
代码语言：javascript复制输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1
输出：1
解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
示例 3：
代码语言：javascript复制输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2
输出：4
解释：最长的等差子序列是 [7,5,3,1]。
提示：
状态机序列 DP 哈希表
❝容易证明：如果存在多个位置的值为 prev，从中选择一个下标最大的位置（下标小于 i）进行转移，结果相比于最优位置不会变差。因此我们「贪心」选择下标最大的位置（下标小于 i）即可，这引导我们在转移过程中使用「哈希表」记录处理过的位置的值信息。 ❞ 综上，我们有：
- arr[i]独立成为一个子序列，此时有：f[i][1] = 1 ；
- arr[i]接在某一个数的后面，由于给定了差值 difference，可直接算得上一位的值为 prev = arr[i] - difference ，此时应当找到值为 prev，下标最大（下标小于 i）的位置，然后从该位置转移过来，即有：f[i][1] = f[hash[prev]][1] 1 ;
代码（使用数组充当哈希表的代码在 P2）：
代码语言：javascript复制class Solution {
public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
int n = arr.length;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
int[][] f = new int[n][2];
f[0][1] = 1;
map.put(arr[0], 0);
for (int i = 1; i < n; i ) {
f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
f[i][1] = 1;
int prev = arr[i] - d;
if (map.containsKey(prev)) f[i][1] = Math.max(f[i][1], f[map.get(prev)][1] 1);
map.put(arr[i], i);
}
return Math.max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]);
}
}
class Solution {
int N = 40009, M = N / 2;
public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
int n = arr.length;
int[] hash = new int[N];
Arrays.fill(hash, -1);
int[][] f = new int[n][2];
f[0][1] = 1;
hash[arr[0] M] = 0;
for (int i = 1; i < n; i ) {
f[i][0] = Math.max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
f[i][1] = 1;
int prev = arr[i] - d;
if (hash[prev M] != -1) f[i][1] = Math.max(f[i][1], f[hash[prev M]][1] 1);
hash[arr[i] M] = i;
}
return Math.max(f[n - 1][0], f[n - 1][1]);
}
}
- 时间复杂度：令 n为数组长度，共有 n * 2 个状态需要被计算，每个状态转移的复杂度为 O(1)。整体复杂度为 O(n)
- 空间复杂度：O(n)
优化状态定义
不难发现，我们多定义一维状态来区分某个位置的值是否被选择，目的是为了正确转移出第 i位被选择的情况。
事实上，利用哈希表本身我们就能轻松做到这一点。
class Solution {
public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
int ans = 1;
Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
for (int i : arr) {
map.put(i, map.getOrDefault(i - d, 0) 1);
ans = Math.max(ans, map.get(i));
}
return ans;
}
}
class Solution {
int N = 40009, M = N / 2;
public int longestSubsequence(int[] arr, int d) {
int ans = 1;
int[] hash = new int[N];
for (int i : arr) {
hash[i M] = hash[i - d M] 1;
ans = Math.max(ans, hash[i M]);
}
return ans;
}
}
- 时间复杂度：令 n为数组长度，共有 n 个状态需要被计算，每个状态转移的复杂度为 O(1)。整体复杂度为 O(n)
- 空间复杂度：O(n)
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1218 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
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