题目描述
这是 LeetCode 上的「162. 寻找峰值」，难度为「中等」。
Tag : 「二分」
峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。
给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。
你可以假设 nums[-1]=nums[n]=-∞ 。
你必须实现时间复杂度为
的算法来解决此问题。
示例 1：
代码语言：javascript复制输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。
示例 2：
代码语言：javascript复制输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。
提示：
- 对于所有有效的
i都有nums[i] != nums[i 1]
模拟
由于数据范围只有
，使用线性扫描找峰值的模拟做法也是没有问题。
代码：
代码语言：javascript复制class Solution {
public int findPeakElement(int[] nums) {
int n = nums.length;
for (int i = 0; i < n; i ) {
boolean ok = true;
if (i - 1 >= 0) {
if (nums[i - 1] >= nums[i]) ok = false;
}
if (i 1 < n) {
if (nums[i 1] >= nums[i]) ok = false;
}
if (ok) return i;
}
return -1;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
二分
题目让我们实现一个
算法，这是对使用「二分」的强烈暗示。
和往常的题目一样，我们应当从是否具有「二段性」来考虑是否可以进行「二分」。
不难发现，如果 在确保有解的情况下，我们可以根据当前的分割点
与左右元素的大小关系来指导
或者
的移动。
假设当前分割点
满足关系
的话，一个很简单的想法是
可能为峰值，而
必然不为峰值，于是让
，从左半部分继续找峰值。
估计不少同学靠这个思路 AC 了，只能说做法对了，分析没对。
上述做法正确的前提有两个：
- 对于任意数组而言，一定存在峰值（一定有解）；
- 二分不会错过峰值。
我们分别证明一下。
证明
：对于任意数组而言，一定存在峰值（一定有解）
根据题意，我们有「数据长度至少为
」、「越过数组两边看做负无穷」和「相邻元素不相等」的起始条件。
我们可以根据数组长度是否为
进行分情况讨论：
- 数组长度为
，由于边界看做负无穷，此时峰值为该唯一元素的下标；
- 数组长度大于
，从最左边的元素
开始出发考虑：
- 如果在到达数组最右侧前，出现
，说明存在峰值位置
（当我们考虑到
，必然满足
大于前一元素的前提条件，当然前一元素可能是原始左边界）；
- 到达数组最右侧，还没出现
，说明数组严格递增。此时结合右边界可以看做负无穷，可判定
为峰值。
- 如果
，那么最左边元素
就是峰值（结合左边界为负无穷）；
- 如果
，由于已经存在明确的
和
大小关系，我们将
看做边界，
看做新的最左侧元素，继续往右进行分析：
综上，我们证明了无论何种情况，数组必然存在峰值。
证明
：二分不会错过峰值
其实基于「证明
」，我们很容易就可以推理出「证明
」的正确性。
整理一下由「证明
」得出的推理：如果当前位置大于其左边界或者右边界，那么在当前位置的右边或左边必然存在峰值。
换句话说，对于一个满足
的位置，
的右边一定存在峰值；或对于一个满足
的位置，
的左边一定存在峰值。
因此这里的「二段性」其实是指：在以
为分割点的数组上，根据
与
的大小关系，可以确定其中一段满足「必然有解」，另外一段不满足「必然有解」（可能有解，可能无解）。
❝如果不理解为什么「证明
」的正确性可以由「证明
」推导而出的话，可以重点看看「证明
」的第
点的证明。 ❞
至此，我们证明了始终选择大于边界一端进行二分，可以确保选择的区间一定存在峰值，并随着二分过程不断逼近峰值位置。
另外，为了照顾还在纠结使用什么“模板”的同学，特意写了两个版本。但其实只要搞清楚我们「二分」什么内容，根本不会存在说用哪种方式才能写过的情况。
代码：
代码语言：javascript复制class Solution {
public int findPeakElement(int[] nums) {
int n = nums.length;
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l r >> 1;
if (nums[mid] > nums[mid 1]) r = mid;
else l = mid 1;
}
return r;
}
}
class Solution {
public int findPeakElement(int[] nums) {
int n = nums.length;
if (n == 1) return 0;
int l = 0, r = n - 1;
while (l < r) {
int mid = l r 1 >> 1;
if (nums[mid] > nums[mid - 1]) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return r;
}
}
- 时间复杂度：
- 空间复杂度：
总结
通过本题，我们可以对「二分」有进一步的认识。
最早在 33. 搜索旋转排序数组 中，我们强调，二分的本质是「二段性」而非「单调性」，而经过本题，我们进一步发现「二段性」还能继续细分，不仅仅只有满足
特性（满足/不满足）的「二段性」可以使用二分，满足
特性（一定满足/不一定满足）也可以二分。
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.162 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
为了方便各位同学能够电脑上进行调试和提交代码，我建立了相关的仓库：https://github.com/SharingSource/LogicStack-LeetCode
在仓库地址里，你可以看到系列文章的题解链接、系列文章的相应代码、LeetCode 原题链接和其他优选题解。
