解2022年408考研真题第1题

2022年408考研真题第1题，考察了时间复杂度的计算方法。题目内容如下：

下列程序段的时间复杂度是（）。

代码语言：javascript复制

sum = 0;
for (i = 1; i < n; i *= 2) 
    for (j = 0; j < i; j  ) 
        sum  ;

O(log{n})

O(n)

O(nlog{n})

O(n^2)

对于这个题目，一种比较简单的解法是设

为

的倍数，即找一个特例，如令

n=2^m

，则

m=log_2n

。从而确定基本语句 sum 的频度。

这种求解方法，能够得到正确答案，但仅仅停留在解决本题的应试技巧上，如果题目的条件更换了，外层循环不再是 i *= 2 ，就不能以

的倍数特例了。更何况，我认为，在复习阶段，应该尽可能掌握最基本的方法，而不是将重点放在某些技巧上，因为技巧都是针对特殊现象的，只有基本方法才具有普遍适用性。掌握了基本方法，就不用担心试题的变化了；掌握了基本方法，试题再变化，也是“万变不离其宗”。

那么，针对这个题目，从基本方法角度出发，应该如何求解？

在网上，也能搜索到试图通过基本方法求解的文章（例如某乎网站），很可惜，该文章求解过程的计算有错误，且阐述语焉不详，思路跳跃。

下面，本文尝试给出一种方法，请大家欣赏，如果其中有误，敬请指正。

根据分析时间复杂度的方法，解题步骤如下：

第一步：基本语句是 sum 。

第二步：基本语句处于嵌套循环中，内层循环与外层循环的变量相关，用下表列出外层循环和内层循环变量及基本语句循环次数（即内层循环次数）

因为 i < n ，即

2^{r-1}lt n

，所以

rltlog_2n 1

。

又因为

是非负整数，所以

r=lfloorlog_2n 1rfloor=lfloorlog_2nrfloor 1

（向下取整）。

第三步：基本语句频度。由上表可知，基本语句频度为：

begin{split} f(n)=2^0 2^1 2^2 cdots 2^{r-1}=2^r-1 end{split}

又因为

r=lfloorlog_2nrfloor 1

，所以：

begin{split} f(n)&=2^{lfloorlog_2nrfloor 1}-1 \&le2^{log_2n 1}-1 \&=2n-1 end{split}

第四步：得到时间复杂度：

T(n)=O(n)

本题答案：B

0 人点赞