最近的工作都跟集群调度有关，一直在为了满足用户需求添加各种调度策略，现在也暂时告一段落了，抽时间总结思考了之前的工作，调度本质上就是背包问题，但是相当复杂，涉及到多维多重背包、组合背包、依赖背包等。又重新开始学习背包问题，这里先从简单的01背包开始讲，在网上也找到了很多相关的文章，但是很遗憾，我找到的很多关于用golang实现背包的文章中给出的代码都是有问题的，后决定自己写出来，也希望大家一起思考，不要被误导了。
题目
有有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。
基本思想
这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]] w[i]}
这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。
代码实现
测试用例
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 | func main() { v := []int{7, 5, 8} //物品大小 w := []int{2, 3, 4} //物品价值 goods := [][]int{ []int{7, 2}, []int{5, 3}, []int{8, 4}, } fmt.Println(zeroonepack1(v, w, 5)) fmt.Println(zeroonepack(goods, 5)) fmt.Println(zeroonepack2(v, w, 5)) } // 结果应该都是3才对 |
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二维数组实现
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上面都是二维数组的实现，空间复杂度是O(VN)，区别就是传入的参数不同，用二维数组表示物品，或者用两个一维数组分别表示物品的消耗（重量或体积等）和价值，特别注意上面的注释，很多golang版本的代码就是那里出的问题，错误版本的代码参考这里
一维数组实现
以上方法的时间和空间复杂度均为O(VN)，其中时间复杂度应该已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O。
先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。代码如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 | func zeroonepack2(weight []int, value []int, capacity int) int { num := len(weight) dp := make([]int, capacity 1) for i := weight[0]; i < capacity; i { dp[i] = value[0] } for i := 1; i < num; i { for j := capacity; j >= 0; j-- { if j >= weight[i] { dp[j] = max(dp[j], dp[j-weight[i]] value[i]) } } } return dp[capacity] } |
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其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。如果将v的循环顺序从上面的逆序改成顺序的话，那么则成了f[i][v]由f[i][v-c[i]]推知，与本题意不符，但它却是另一个重要的背包问题最简捷的解决方案，故学习只用一维数组解01背包问题是十分必要的。
