文章目录
- 思想
- 核心函数
- 存储方式
- 模板：动态求连续区间和
- 练习：数列区间最大值
应用：求区间最大值，求染色面积，长度，最大连续和等等。
思想
操作一：单点修改 (
)
单点修改的基础思想就是仅修改信息需要变化的节点，类似一个递归 回溯的过程。
操作二：区间查询 (
)
查询也是一个递归的过程，如果查询的区间已经把当前区间完全包含了，则可以返回该区间了。
此外，进行区间修改往往会使用懒标记。
核心函数
pushup：用子节点信息更新当前节点信息
build：在一段区间上初始化线段树
modify：修改
query：查询
（此外，懒标记会有pushdown）
存储方式
线段数组的存储方式与堆（heap）的存储方式类似，采用了一维数组：
对于节点x：
- 父节点为
，记为 x >> 1
- 左儿子为2x，记为
x << 1 - 右儿子为2x 1，记为
x << 1 | 1
关于数组存储的空间问题：最理想情况是
，一般情况下最后一层节点不是满的，但最坏情况也不会超过前面整个二叉树的节点总数，也就是不会超过 2N−1，所以一共最多不会超过 4N。这里N 如果不是2的整次幂就是倒数第二层，否则就是最后一层。
模板：动态求连续区间和
给定 n 个数组成的一个数列，规定有两种操作，一是修改某个元素，二是求子数列 [a,b] 的连续和。
输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m，分别表示数的个数和操作次数。
第二行包含 n 个整数，表示完整数列。
接下来 m 行，每行包含三个整数 k,a,b （k=0，表示求子数列[a,b]的和；k=1，表示第 a 个数加 b）。
数列从 1 开始计数。
输出格式
输出若干行数字，表示 k=0 时，对应的子数列 [a,b] 的连续和。
数据范围
,
，
, 数据保证在任何时候，数列中所有元素之和均在 int 范围内。
输入样例：
代码语言：javascript复制10 5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 5
0 1 3
0 4 8
1 7 5
0 4 8输出样例：
代码语言：javascript复制11
30
35code
代码语言：javascript复制#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,m;
int w[N];//记录一下权重
struct node{
int l,r;//左右区间
int sum;//总和
}tr[N*4];//记得开 4 倍空间
void push_up(int u)//利用它的两个子节点来算一下它的当前节点信息
{
tr[u].sum=tr[u<<1].sum tr[u<<1|1].sum;//左儿子 u<<1 ,右儿子 u<<1|1
}
void build(int u,int l,int r)/*第一个参数，当前节点编号，第二个参数，左边界，第三个参数，右边界*/
{
if(l==r)tr[u]={l,r,w[r]};//如果当前已经是叶节点了，那我们就直接赋值就可以了
else//否则的话，说明当前区间长度至少是 2 对吧，那么我们需要把当前区间分为左右两个区间，那先要找边界点
{
tr[u]={l,r};//这里记得赋值一下左右边界的初值
int mid=l r>>1;//边界的话直接去计算一下 l r 的下取整
build(u<<1,l,mid);//先递归一下左儿子
build(u<<1|1,mid 1,r);//然后递归一下右儿子
push_up(u);//做完两个儿子之后的话呢 push_up 一遍u，更新一下当前节点信息
}
}
int query(int u,int l,int r)//查询的过程是从根结点开始往下找对应的一个区间
{
if(l<=tr[u].l && tr[u].r<=r)return tr[u].sum;//如果当前区间已经完全被包含了，那么我们直接返回它的值就可以了
//否则的话我们需要去递归来算
int mid=tr[u].l tr[u].r>>1;//计算一下我们 当前 区间的中点是多少
//先判断一下和左边有没有交集
int sum=0;//用 sum 来表示一下我们的总和
if(mid>=l)sum =query(u<<1,l,r);//看一下我们当前区间的中点和左边有没有交集
if(r>=mid 1)//看一下我们当前区间的中点和右边有没有交集
sum =query(u<<1|1,l,r);
return sum;
}
void modify(int u,int x,int v)//第一个参数也就是当前节点的编号,第二个参数是要修改的位置，第三个参数是要修改的值
{
if(tr[u].l==tr[u].r)tr[u].sum =v; //如果当前已经是叶节点了，那我们就直接让他的总和加上 v 就可以了
//否则
else
{
int mid=tr[u].l tr[u].r>>1;
//看一下 x 是在左半边还是在右半边
if(x<=mid)modify(u<<1,x,v);//如果是在左半边，那就找左儿子
else modify(u<<1|1,x,v);//如果在右半边，那就找右儿子
//更新完之后当前节点的信息就要发生变化对吧，那么我们就需要 pushup 一遍
push_up(u);
}
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1; i<=n; i )scanf("%d",&w[i]);
build(1, 1, n);/*第一个参数是根节点的下标，根节点是一号点，然后初始区间是 1 到 n */
//后面的话就是一些修改操作了
while(m--)
{
int k,a,b;
scanf("%d%d%d",&k,&a,&b);
if(!k)printf("%dn",query(1,a,b));//求和的时候，也是传三个参数，第一个的话是根节点的编号 ，第二个的话是我们查询的区间
//第一个参数也就是当前节点的编号
else
modify(1,a,b);//第一个参数是根节点的下标,第二个参数是要修改的位置，第三个参数是要修改的值
}
return 0;
}练习：数列区间最大值
输入一串数字，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 X,Y，要求你说出 X 到 Y 这段区间内的最大数。
输入格式
第一行两个整数 N,M 表示数字的个数和要询问的次数；
接下来一行为 N 个数；
接下来 M 行，每行都有两个整数 X,Y。
输出格式
输出共 M 行，每行输出一个数。
数据范围
,
,
, 数列中的数字均不超过
输入样例：
代码语言：javascript复制10 2
3 2 4 5 6 8 1 2 9 7
1 4
3 8输出样例：
代码语言：javascript复制5
8code
代码语言：javascript复制#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m;
int w[N];
struct Node
{
int l, r;
int maxv;
}tr[N * 4];
// u 表示根节点
void build(int u, int l, int r)
{
if (l == r) tr[u] = {l, r, w[r]}; // 这里相等，w[r]和w[l]赋值哪个都行
else
{
tr[u] = {l, r}; // 这样写默认在tr[]中，l,r分别进行了赋值，最后maxv没有赋值，默认为0
int mid = l r >> 1;
build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid 1, r);
tr[u].maxv = max(tr[u << 1].maxv, tr[u << 1 | 1].maxv); // 回溯根节点的最大值，相当于把pushup写到build里了
}
}
int query(int u, int l, int r)
{
if (tr[u].l >= l && tr[u].r <= r) return tr[u].maxv;
int mid = tr[u].l tr[u].r >> 1; // 注意这里的中点一定是树的中点，而非查询的中点
int maxv = INT_MIN; // INT_MIN是limits.h里定义的的int类型的最小值
if (l <= mid) maxv = query(u << 1, l, r); // 左边有交集，此时返回值一定大于等于INT_MIN
if (r > mid) maxv = max(maxv, query(u << 1 | 1, l, r)); // 右边有交集，此时maxv可能已经改变，需要在当前最大值和查询结果中取最大值
return maxv;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i ) scanf("%d", &w[i]);
build(1, 1, n);
int l, r;
while (m -- )
{
scanf("%d%d", &l, &r);
printf("%dn", query(1, l, r));
}
return 0;
}
