第一讲数域_域数学

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

1. 引入

数是数学的一个最基本概念, 回顾一下我们曾经学习过的数的发展过程:

(1) 代数性质: 关于数的加, 减, 乘 , 除等运算的性质称为数的代数性质. (2) 数集: 数的集合简称数集. 常见的数集: 复试C; 实数R;有理数Q等等. 它们有一个共同的性质就是对加减乘除运算封闭.

2. 数域的定义

设F是由一些复数组成的集合, 其中包括0和1, 如果F中任意两个数的和, 差, 积, 商(除数不为0)扔是F中的数, 则称F为一个数域. 从数域的定义可以看出一个数域要满足:

为复数的子集;
包含0和1;
对加减乘除运算封闭.

常见的数域: 复数域C, 实数域R, 有理数域Q. (自然数集合N和整数集合Z都不是数域.) 注意: (1) 若数集F中任意两个数作某种运算的结果仍在F中, 则称数集F对这个运算时封闭的. (2) 数域的等价定义: 如果一个包含0, 1在内的数集F对于加法, 减法, 乘法和除法(除数不能为0)都是封闭的, 则称数集F为一个数域.

那么除了有理数域Q, 实数域R和复数域C外, 还有其他的数域吗? 当然有!

例 1. 证明: 数集 Q ( 2 ) = { a b 2 ∣ a , b ∈ Q } Q( sqrt2)={a b sqrt2 | a, b in Q} Q(2 )={ a b2 ∣a,b∈Q}是一个数域. 证明: (1) { a b 2 ∣ a , b ∈ Q } ⊆ C {a bsqrt2| a, bin Q} subseteq C { a b2 ∣a,b∈Q}⊆C (2) 因为 0 = 0 0 2 , 1 = 1 0 2 0=0 0sqrt2, 1= 1 0sqrt2 0=0 02 ,1=1 02 , 所以 0 , 1 ∈ Q ( 2 ) 0, 1 in Q(sqrt2) 0,1∈Q(2 ) (3) 设 a , b , c , d ∈ Q a, b, c, din Q a,b,c,d∈Q, 则有 x ± y = ( a ± c ) ( b ± d ) 2 ∈ Q ( 2 ) , xpm y = (apm c) (bpm d)sqrt2 in Q(sqrt2), x±y=(a±c) (b±d)2 ∈Q(2 ), x . y = ( a c 2 b d ) ( a d b c ) 2 ∈ Q ( 2 ) x.y =(ac 2bd) (ad bc)sqrt2 in Q(sqrt2) x.y=(ac 2bd) (ad bc)2 ∈Q(2 ) 设 a b 2 ≠ 0 a bsqrt2 ne 0 a b2 =0, 则有 a − b 2 ≠ 0 a-bsqrt2 ne 0 a−b2 =0

( 否则, 若 a − b 2 = 0 a-bsqrt2 =0 a−b2 =0, 则 a = b 2 a=bsqrt2 a=b2 , quad 于是有 a b = 2 ∈ Q frac{a}{b} =sqrt2 in Q ba=2 ∈Q quad 或 a = 0 , b = 0 ⇒ a b 2 = 0 a=0, b=0Rightarrow a bsqrt2=0 a=0,b=0⇒a b2 =0 皆矛盾)

c d 2 a b 2 = ( c d 2 ) ( a − b 2 ) ( a b 2 ) ( a − b 2 ) = a c − 2 b d a 2 − 2 b 2 a d − b c a 2 − 2 b 2 2 ∈ Q ( 2 ) frac{c dsqrt2}{a bsqrt2}=frac{(c dsqrt2)(a-bsqrt2)}{(a bsqrt2)(a-bsqrt2)}=frac{ac-2bd}{a^2-2b^2} frac{ad-bc}{a^2-2b^2}sqrt2in Q(sqrt2) a b2 c d2 =(a b2 )(a−b2 )(c d2 )(a−b2 )=a2−2b2ac−2bd a2−2b2ad−bc2 ∈Q(2 )

所以, Q ( 2 ) Q(sqrt2) Q(2 )为数域. 可以证明类似 { a b p ∣ a , b ∈ Q } , p 为素数 {a bsqrt p|a,bin Q}, p为素数 { a bp ∣a,b∈Q},p为素数, 都为为数域, 所以数域有无穷多个.

例2: 设F是至少含两个数的数集, 证明: 若F中任意两个数的差与商(除数不为0)仍属于F, 则F为一个数域.

证明: 由题设任取 a , b ∈ F a, b in F a,b∈F, 有 0 = a − a ∈ F , 1 = b b ∈ F ( b ≠ 0 ) 0=a-ain F, 1=frac{b}{b}in F(bne 0) 0=a−a∈F,1=bb∈F(b=0), a − b ∈ F , a b ∈ F ( b ≠ 0 ) a-bin F, frac{a}{b}in F(bne 0) a−b∈F,ba∈F(b=0), a b = a − ( 0 − b ) ∈ F a b = a-(0-b)in F a b=a−(0−b)∈F, b ≠ 0 时 , a b = a 1 b ∈ F , b = 0 时 , a b = 0 ∈ F b ne 0时, ab=frac{a}{frac{1}{b}}in F, b=0时, ab=0in F b=0时,ab=b1a∈F,b=0时,ab=0∈F, 所以, F是一个数域.

3. 数域的性质

性质1: 任意数域F都包括有理数域Q. 即, 有理数域为最小数域. 证明: 设F为任意一个数域. 由定义可知: 0 ∈ F , 1 ∈ F . quad 0in F, 1in F. 0∈F,1∈F. 于是有 ∀ m ∈ Z , m = 1 1 . . . 1 ∈ F forall m in Z^ , m = 1 1 … 1in F ∀m∈Z ,m=1 1 ... 1∈F 进而有 ∀ m , n ∈ Z , m n ∈ F quad forall m, nin Z^ , frac{m}{n}in F ∀m,n∈Z ,nm∈F, − m n = 0 − m n ∈ F quad -frac{m}{n}=0-frac{m}{n}in F −nm=0−nm∈F. 而任意一个有理数可表示为两个整数的商, 所以 Q ⊆ F Qsubseteq F Q⊆F

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3. 数域的性质

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