三维点云拼接的方法_图像拼接算法研究

2022-11-09 11:27:52 浏览数 (1)

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

apap 算法：mdlt

matlab 很多内置函数都是对列操作，如mean()

1. VLFEAT库 检测和匹配 SIFT 关键点 kp1,kp2,matches
2. 关键点坐标齐次化：（x,y,1）
3. 归一化：normalise2dpts

Function translates and normalises a set of 2D homogeneous points so that their centroid is at the origin and their mean distance from the origin is sqrt(2). 将2d 齐次点的中心点坐标转移到原点，2d 齐次点和原点的平均距离为 2 sqrt{2} 2 ​ 。

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% 例如：
a = [1,2,3;
	 1,2,3;
	 1,1,1];
[a1,t1]=normalise2dpts(a); 
% a1 =
%   -1.5000         0    1.5000
%   -1.5000         0    1.5000
%    1.0000    1.0000    1.0000
% 函数返回的a1 中心点为原点，且三个点距离原点的距离的平均值为 $sqrt{2}$ 
% 可以验证：
dist = sqrt(a1(1,:).^2 a1(2,:).^2); % 2.1213 0 2.1213
meandist = mean(dist,2); % 1.4142

求normalise矩阵和新坐标 方法如下：

求中心点坐标

  • c = mean(pts(1:2, : )’ )’，先转置变成2长列求完平均点坐标再转置
  • 或者可以mean(pts(1:2,finiteind),2) 即对行操作

所有点坐标减去中心点坐标，求平方和，然后得到平方和的平均值meandist

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scale = sqrt(2)/meandist; 

T = [scale   0   -scale*c(1)
     0     scale -scale*c(2)
     0       0      1      ];
     
newpts = T*pts; % 归一化后的新关键点坐标
4. ransac 算法：对匹配对剔除外点，multigsSampling 得到500组残差 3040（sift匹配对数）*500
  • 得到小于Ransac阈值数量最多的一组残差，找到内点的索引
  • 在图中画出匹配关系图（内点）
5. 求全局单应矩阵， DLT

vgg_H_from_x_lin( xs1, xs2 ) 这里的 xs1和 xs2 都是 经过归一化的内点齐次坐标

condition points：

先调用 C1 = vgg_conditioner_from_pts(xs1)，normalizes Pts to have 均值 0 and 样本标准偏差为 2 sqrt {2} 2 ​ 的变换矩阵C

其中，样本标准偏差计算公式：

返回3*3 矩阵 C1，其中第三行是[0 0 1]

再调用vgg_condition_2d，得到 xs1 = C1* xs1，xs2 = C2* xs2 ，新得到的 xs1，xs2 中的关键点坐标均值为0，std 为 2 ​ sqrt{2} ​ 2 ​​

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% 再次使用上面的例子
% a1 =
%   -1.5000         0    1.5000
%   -1.5000         0    1.5000
%    1.0000    1.0000    1.0000
% 得到的a2 = C * a1
a2  =
   -1.4142         0    1.4142
   -1.4142         0    1.4142
    1.0000    1.0000    1.0000
% 可以验证：
mean(a2(1:2,:),2); % ans = 0 0 
std(a2(1:2,:)');   % ans = 1.4142 1.4142

svd 分解： min ⁡ h ∥ A h ∥ , s . t . ∥ h ∥ = 1 A = [ 0 0 0 − p 1 T p 2 y ∗ p 1 T p 1 T 0 0 0 − p 2 x ∗ p 1 T − p 2 y ∗ p 1 T p 2 x ∗ p 1 T 0 0 0 ] min_h left| mathrm Ah right|,s.t.left| mathrm h right|=1 \ mathrm A = begin {bmatrix} 0 & 0& 0& -p1^T & p2_y*p1^T\ p1^T &0&0&0& -p2_x*p1^T \ -p2_y*p1^T & p2_x*p1^T &0&0&0 end {bmatrix} hmin​∥Ah∥,s.t.∥h∥=1A=⎣⎡​0p1T−p2y​∗p1T​00p2x​∗p1T​000​−p1T00​p2y​∗p1T−p2x​∗p1T0​⎦⎤​

  • A 中任取两行代入一个关键点坐标，得到两个方程，N个关键点，得到的A为2N*9
  • 取A 的svd分解中最小特征值对应的 v 向量，即 将9*9的V矩阵的最后一列作为 h向量
  • H = reshape(h,3,3)' ,matlab 中将h向量 按列重新排列成矩阵，所以需要转置
  • 由于代入A 中计算的特征点是 condition points，即此处的 H*(C1 * xs1) = C2 * xs2，所以 decondition 后的H为 C 2 − 1 ∗ H ∗ C 1 C2^{-1}*H*C1 C2−1∗H∗C1 ，代码表示为：H = C2H*C1; 表示对 C2 求逆
  • H = H/H(3,3) H(3,3) 归一化为1

Denormalise:

由于之前使用 normalise2dpts 对原始关键点坐标做了处理，现在恢复H:

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H = T2H*T1     % 类似deconditon
6. 得到拼接画布的尺寸大小

Map four corners of the right image. 采用的是左图保持原状，右图进行单应变换。

由于求得的H 是将左图映射到右图，即 H*x_left = x_right，所以 x_left = inv(H) * x_right.

取右图的四个顶点的齐次坐标 分别作为 x_right 的值，得到新的四个顶点坐标：TL, BL, TR, BR

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%% 例如求左顶点
TL = Hg[1;1;1]; % 即 inv(Hg)*[1;1;1], 得到非齐次形式
TL = round([ TL(1)/TL(3) ; TL(2)/TL(3) ]);  % 齐次化！

确定画布的尺寸（cw, ch）

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cw = max([1 size(img1,2) TL(1) BL(1) TR(1) BR(1)]) - min([1 size(img1,2) TL(1) BL(1) TR(1) BR(1)])   1;  % 投影面的 宽，通过最大的x(列)-最小的x(列) 1

ch = max([1 size(img1,1) TL(2) BL(2) TR(2) BR(2)]) - min([1 size(img1,1) TL(2) BL(2) TR(2) BR(2)])   1;  % 投影面的 高

确定左图的偏移量off，即左图img1 左顶点 在画布坐标系中的 坐标 （在下图中有体现）

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off = [ 1 - min([1 size(img1,2) TL(1) BL(1) TR(1) BR(1)])   1 ; 1 - min([1 size(img1,1) TL(2) BL(2) TR(2) BR(2)])   1 ];
7. 使用全局单应矩阵 映射源图像

在空画布warped_img1 (ch, cw )中 根据偏移量off 确定 左图img1 的映射位置

调用imagewarping.cpp，将matlab 中的变量传入c 函数，二维数组变成按列排列的一维数组指针，三维数组（如rgb 图像）变成二维数组指针（M* ( N * 3) ），不过在取像素值时也是变成一维数组按列索引

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void mexFunction(int nlhs, mxArray *plhs[], int nrhs, const mxArray *prhs[])
    // nlhs 代表输出参数个数，nrhs 代表输入参数个数
{ 
     
    // 使用DLT，则输入参数为： 
    // double(ch),double(cw),double(img2),Hg,double(off)
}

上一步得到的TL, BL, TR, BR四个顶点坐标，是以img1 的左顶点为坐标原点.

而在 imagewarping.cpp 中，需要以画布的左顶点为坐标原点.(在下图中有体现)

例如：img2的原左顶点（1;1;1）,经过 H − 1 ∗ ( 1 ; 1 ; 1 ) ​ H^{-1}*(1;1;1)​ H−1∗(1;1;1)​ ，得到TL = （906; -141），此时的坐标系是img1。

在以画布（3315*1844）为坐标系时，img2对应的TL = (906; 203)，所以需要先减去 偏移量off (1;345)再加(1;1)，得到(906; -141)，再用 H * (906; -141; 1)，再齐次化，即可大概得到 （1;1）。 单 应 变 换 ： x ~ ′ = H x ~ x = [ x , y ] T , x ~ = [ x , y , 1 ] T 计 算 得 到 的 x ~ ′ = [ x ′ , y ′ , z ′ ] , 后 续 使 用 需 要 齐 次 形 式 ， 即 x ′ = [ x ′ / z ′ , y ′ / z ′ ] . 单应变换：widetilde{mathrm x}’= mathrm H widetilde{mathrm x} \ mathrm x = [x,y]^T,widetilde{mathrm x}=[x,y,1]^T\ 计算得到的 widetilde{mathrm x}’ =[x’,y’,z’],后续使用需要齐次形式，即mathrm x’=[x’/z’,y’/z’].\ 单应变换：x ′=Hx x=[x,y]T,x =[x,y,1]T计算得到的x ′=[x′,y′,z′],后续使用需要齐次形式，即x′=[x′/z′,y′/z′].

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% 验证结果：
Hg*[906;-141;1]= [1.2193;1.4887;0.9824];
% 齐次化后的坐标： [1.2411; 1.5153] ≈ [1; 2]
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/* For each pixel in the target image... */    // H * canv = img2
for(i=0;i<canvm;i  )
{ 

for(j=0;j<canvn;j  )
{ 

/* Get projective transformation for current source point (i,j). */   // 将source image(canv) 映射到 target image(img2) 的坐标为（posa, posb）
posa = round(((H[(Hm*0) 0] * (j-off[0] 1))   (H[(Hm*1) 0] * (i-off[1] 1))   H[(Hm*2) 0]) / ((H[(Hm*0) 2] * (j-off[0] 1))   (H[(Hm*1) 2] * (i-off[1] 1))   H[(Hm*2) 2]));
posb = round(((H[(Hm*0) 1] * (j-off[0] 1))   (H[(Hm*1) 1] * (i-off[1] 1))   H[(Hm*2) 1]) / ((H[(Hm*0) 2] * (j-off[0] 1))   (H[(Hm*1) 2] * (i-off[1] 1))   H[(Hm*2) 2]));
/* Find if the current pixel/point in the (warped) source image falls inside canvas. */
if ((posa > 1)&&(posa < img2n)&&(posb>1)&&(posb<img2m))
{ 
 // 如果映射后的点在img2 中，则进行像素赋值
/* If the current pixel in the source image hits the target (i.e., is inside the canvas) * we get its corresponding position in the 2D array. */
cidx = ((j-1)*canvm) (i-1); 
sidx = ((posa-1)*img2m) (posb-1);
/* Warping pixel in source image to canvas. */  
if (cidx ch1canv >= 0 && cidx ch3canv < canvm*canvn*3 && sidx ch1img2 >= 0 && sidx ch3img2 < img2m*img2n*3)
{ 
   // 像素点 赋值是按照数组指针，同一个点的rgb通道依次赋值 
warped_img2[cidx ch1canv] = img2[sidx ch1img2];
warped_img2[cidx ch2canv] = img2[sidx ch2img2];
warped_img2[cidx ch3canv] = img2[sidx ch3img2];
}
}
}
}
8. 线性加权融合 Blending images by simple average (linear blending)

上一步得到的warped_img1是左图所在位置，warped_img2是右图所在位置，都是ch*cw 的尺寸

调用imageblending(warped_img1, warped_img2)：

  • 二值化 imfill(img, 'holes')
  • 将二值化的值 作为左右图在每个像素点的权重，简单加权：(img1* w1 img2* w2) / (w1 w2)
9. APAP，Moving DLT (projective)
  • 左图img1 的内点的原始坐标 K p ​ mathrm{Kp}​ Kp​，以左图左顶点为参考
  • 将画布划分成99*99个网格，记录网格所有顶点的坐标：则 X, Y 维度都是100 *100，以画布左顶点为参考 变换画布顶点的坐标，则Mv = [X(:)-off(1), Y(:)-off(2)]; 此时以左图左顶点为参考
  • 对每一个网格顶点，计算其与 img1 中所有内点的高斯权重 Gki ：Gki = exp(-pdist2(Mv(i,:),Kp)./sigma^2); 算法理论：

w ∗ i = exp ⁡ ( − ∥ x ∗ − x i ∥ 2 / σ 2 ) 这 里 的 x ∗ 是 网 格 的 顶 点 坐 标 ， x i 是 经 过 R A N S A C 算 法 筛 选 后 的 匹 配 对 ( x i , x i ′ ) 中 的 左 图 关 键 点 坐 标 ！ 写 成 矩 阵 形 式 ： h ∗ = arg ⁡ min ⁡ h ∥ W ∗ A h ∥ 2 ， 这 是 一 个 W S V D 问 题 ， 其 解 为 W ∗ A 对 应 的 最 小 特 征 值 的 右 奇 异 特 征 向 量 ！ 其 中 ， 权 重 矩 阵 W ∗ = d i a g ( [ w ∗ 1 w ∗ 1 ⋯ w ∗ N w ∗ N ] ) ∈ R 2 N × 2 N w_*^i=exp(-left|mathrm x_*-mathrm x_iright|^2/sigma^2) \ 这里的 mathrm x_*是网格的顶点坐标，mathrm x_i 是经过mathrm{RANSAC}算法筛选后的匹配对(mathrm x_i,mathrm x_i’)中的左图关键点坐标！ \ 写成矩阵形式：\ mathrm h_*= mathop{argmin}_{mathrm h} | mathrm{W_*Ah}|^2，这是一个mathrm {WSVD}问题，其解为mathrm{W_*A}对应的最小特征值的右奇异特征向量！ \其中，权重矩阵 mathrm W_*=mathrm{diag}([w_*^1 w_*^1cdots w_*^N w_*^N])in mathbb{R}^{2N×2N} w∗i​=exp(−∥x∗​−xi​∥2/σ2)这里的x∗​是网格的顶点坐标，xi​是经过RANSAC算法筛选后的匹配对(xi​,xi′​)中的左图关键点坐标！写成矩阵形式：h∗​=argminh​ ∥W∗​Ah∥2，这是一个WSVD问题，其解为W∗​A对应的最小特征值的右奇异特征向量！其中，权重矩阵W∗​=diag([w∗1​w∗1​⋯w∗N​w∗N​])∈R2N×2N

  • 为了避免数值问题，将权重过于接近0的数以一个小量 γ gamma γ 来代替：Wi = max(gamma,Gki);
  • 进行 wsvd 分解，调用wsvd.cpp 得到各个网格顶点对应的 局部单应矩阵
  • 同样地，进行De-condition 和 De-normalize 处理 ！
10. Warping images with Moving DLT 映射左右图到画布

imagewarping 函数传入的参数有：double(ch),double(cw),double(img2),Hmdlt,double(off),X(1,:),Y(:,1)'

其中，Hmdlt 矩阵的每一行是网格顶点的局部单应矩阵 按列排列后的结果

在空画布warped_img1 (ch, cw )中 根据偏移量off 确定 左图img1 的映射位置

确定空画布warped_img2 (ch, cw )中 每一点使用哪一个局部单应矩阵

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/* Get grid point for current pixel(i,j) */   
for(xinx=0; xinx < xn && j >= X[xinx]; xinx  );  // xn =100,yn=100
for(yinx=0; yinx < yn && i >= Y[yinx]; yinx  );
inx = yinx   xinx*yn;

将该点映射到img2 中，如果在范围内，则进行颜色通道间的像素赋值

11. 线性加权融合 (方法同 DLT)

That’s all ! B y e b y e . ​ {color{Green} Byebye.}​ Byebye.​

  • 遗留问题：
    • 将关键点匹配对内点代入A 矩阵时，符号有点问题 (vgg_H_from_x_lin.m)

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编程算法 matlab

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