假设我们从未知分布 q 中观察到 N 个独立且同分布的 (iid) 样本 X = (x1, ... , xN)。统计学中的一个典型问题是“样本集 X 能告诉我们关于分布 q 的什么信息？”。
参数统计方法假设 q 属于一个参数分布族，并且存在一个参数 θ，其中 q(x) 等于所有 x 的参数分布 p(x|θ)；例如，p(.|θ) 可以是具有单位方差的正态分布，其中 θ 表示平均值。在这种情况下，问题是“X 告诉我们关于 q 的什么？”或者说“如果我们有 q = p(.|θ) 的参数 θ，X 告诉我们什么呢？”。
回答这个问题的贝叶斯方法是使用概率论规则并假设 θ 本身是具有先验分布 p(θ) 的随机变量。先验分布 p(θ) 是我们在观察任何样本之前对 θ 的假设和猜测的形式化。在这种前提下，我们可以将参数和数据的联合概率分布写在一起：
利用这个公式，X捕捉到的关于θ的所有信息都可以总结为后验分布
贝叶斯统计是自洽且优雅的：一切都可以使用概率论的规则自然推导出来的，而且假设总是明确且清晰的。但是它通常看起来很神秘和令人费解：（i）我们能从后验分布 p(θ|X) 中真正学到什么关于底层分布 q 的信息？还有（ii）如果我们的假设不成立，例如，如果 q 不属于我们考虑的参数族，该信息的可靠性如何？
在这篇文章中，我们将对这两个问题进行解释。分析样本数量 N 很大时后验分布的渐近形式——这是研究贝叶斯推理的常用方法。然后，我展示了一般理论如何适用于高斯族的简单情况。最后，在三个案例研究中，我使用模拟和分析，后验分布如何与数据的底层分布相关，以及随着N的增加，这个链接如何变化。¹。
理论：大 N 的渐近情况
等式 1 中后验分布的对数可以重新表述为
等式 2 中的常数（相对于 θ）仅对后验概率分布的归一化很重要，并不影响它作为 θ 的函数变化。所以对于大 N，我们可以使用大数定律，并通过以下方式近似等式 2 中的第二项（对数似然之和）
其中 D-KL 是 Kullback-Leibler 散度，是测量真实分布 q 和参数分布 p(.|θ) 之间的伪距离。要注意的重要的一点是，仅当 log p(x|θ) 的均值和方差（相对于 q）对于某些参数 θ 是有限的时，近似才有效。我们将在下一节进一步讨论这种情况的重要性。
如果 p(θ) 完全支持参数空间（即始终为非零），则 log p(θ) 始终是有限的，并且等式 2 中对于大 N的的主要项是 D-KL [q | | p(.|θ)] 乘以 N。这意味着增加样本数 N 会使后验分布 p(θ|X) 越来越接近分布
这是公式3，其中 Z 是归一化常数。p*(θ; N) 是一个有趣的分布：它的最大值是散度 D-KL [q || p(.|θ)] 最小值（即当 p(.|θ) 尽可能接近 q)² 时，它对 D-KL [q || p(.|θ)] 随着样本数量 N 的增加而增加（即，随着 N 的增加，它在其最大值附近变得更加“窄”）。
当假设正确时
当假设是正确的并且存在q = p(.|θ*)的 θ*时，
其中 D-KL [p(.|θ*) || p(.|θ)] 是 θ 和 θ* 之间的伪距离。因此随着 N 的增加，后验分布集中在真实参数 θ* 周围，这可以为我们提供了完全识别 q 所需的所有信息³。
当假设错误时
当没有 q = p(.|θ) 的 θ 时，我们永远无法识别真正的潜在分布 q — 因为我们没有在正确的位置搜索！强调这个问题是因为这种情况不仅限于贝叶斯统计，还扩展到任何参数统计方法。
尽管在这种情况下我们永远无法完全识别 q，但后验分布仍然可以提供有关 q 的信息：如果我们将 θ* 定义为 q 在参数族空间上的伪投影的参数：
那么随着 N 的增加，后验分布集中在 θ* 周围，为我们提供了足够的信息来确定 q 的参数族中的最佳候选者⁴。
理论的总结
随着N的增加，后验分布集中在参数θ*周围，该参数描述了参数族中最接近实际分布q的分布。如果q属于参数族，那么最接近q的分布就是q本身。下面我们看三个例子：
高斯分布
上面我们研究了大量样本的后验分布的一般形式。我们首先研究一个简单的例子，看看一般理论如何适用于具体案例。
这里是一个简单的例子，我们的参数分布是具有单位方差和均值等于 θ 的高斯分布：
为了简单起见，我们只考虑一个标准正态分布作为先验p(θ)。利用公式1可以很容易得到后验分布为
这里的
现在，还可以得到 p*(θ; N)（公式 3）并将其与后验分布进行比较：只要真实分布 q 的均值和方差是有限的，我们就有
还是根据公式3，可以得到
这里的
我们把它称作公式4 ，根据一般理论，可以用p*(θ;N)表示大N，因为
这样可以看到，p(θ|X) 集中在潜在分布 q 的真实均值附近——如果它存在的话。
模拟研究
上面的理论分析有两个关键假设：(i) N 很大，(ii) log p(x|θ) 的均值和方差（相对于 q）对于某些 θ 是有限的。所以 在本节中，我们使用模拟并研究如果这些假设不成立，我们的发现也是非常稳健的。
还是使用上一节中示例，即具有单位方差的高斯分布族。然后考虑 q 的三种不同选择，并分析后验 p(θ|X) 随着 N 增加的变化。
我们还要研究 q 的最大后验 (MAP) 估计 q-MAP-N = p(.|θ-hat-N) 如何随着 N 的增加而变化，其中 θ-hat-N 是 p( θ|X)。，因为这有助于我们了解通过查看后验分布的最大值⁵ 来识别真实分布 q 的精确度。
高斯分布
第一种情况，q 属于参数族并且满足所有假设，这是我们希望的最佳情况：
从q中抽取了10000个样本，发现后验分布p(θ|X=(x1，…，xN))和MAP估计q-MAP-N -，通过在N = 1到10000之间逐一添加样本(下图1)。可以看到随着N的增加，p(θ|X)集中在真参数周围(图1，左)，MAP估计收敛于真分布q(图1，右)。
左:后验分布的均值(实黑色曲线)和标准差(灰色阴影区域)作为n的函数。虚线的黑线表示q=p(.|θ=1)的真参数。后验分布收敛于真参数。垂直的彩色线分别表示N=2、10、100和1000。右:当N=2、10、100和1000(彩色曲线)时q的MAP估计值。黑色虚线曲线表示真实分布q。
拉普拉斯分布
这是第二种情况，一个具有单位均值的拉普拉斯分布作为真实分布:
在这种情况下，q不属于参数族，但它仍然有一个有限的均值和方差。根据理论后验分布应该集中在参数族上q伪投影的参数θ*附近。对于高斯族的例子，θ*总是底层分布的平均值，即θ* = 1(公式4)。
模拟表明随着N的增加，p(θ|X)确实集中在θ* = 1附近(图2，左)。MAP估计收敛于一个系统上不同于真实分布q的分布(图2，右)，这是因为我们在高斯分布中搜索拉普拉斯分布!这本质上是任何参数统计方法的一个问题:如果你在错误的地方搜索，你就找不到正确的分布!
左:后验分布作为n的函数的均值(实黑色曲线)和标准差(灰色阴影区域)。虚线的黑线表示的是q在参数族上的伪投影对应的参数，即θ*=1(公式4)。后验分布收敛于θ*。垂直的彩色线表示N=2、10、100和1000。右:当N=2、10、100和1000(彩色曲线)时q的MAP估计值。黑色虚线曲线表示真实分布q。
柯西分布
第三种也是最后一种情况，我们选择最坏的情况并考虑柯西分布（著名的重尾分布）作为真实分布：
在这种情况下，q 不属于参数族，但更关键的问题是柯西分布没有明确定义的均值或有限方差：这违反了所有理论的假设！
看看我们模拟的情况，模拟表明 p(θ|X) 不会收敛到任何分布（图 3，左）：p(θ|X) 的标准差变为零并且集中在其均值附近，但均值本身并不收敛并且会从一个值跳转到另一个值。这个问题的解释很简单：柯西分布和高斯分布之间的 KL 散度是无限的，并且与它们的参数无关！也就是根据 KL 散度，所有高斯分布均等地（并且无限地）远离 q，因此没有偏好选择哪一个作为其估计！
图 3. q 的柯西分布。左：作为 N 函数的后验分布的均值（实线黑色曲线）和标准偏差（阴影灰色区域）。黑色虚线显示 q 的中值：如果 q 有均值，则因为对称该均值肯定等于 1 。后验分布不会收敛到任何分布，其均值会从一个值跳到另一个值。垂直彩色线显示 N=2、10、100 和 1000。右图：对 N=2、10、100 和 1000 的 q 的 MAP 估计（彩色曲线）。黑色虚线曲线显示真实分布 q。
总结
如果我们假设的分布的参数族与真实分布q相差不大，那么后验分布总是集中在一个参数周围，该参数在某种程度上提供了关于q的信息。
如果q不属于参数族，那么这些信息可能只是边缘的，并不是真正有用的。最坏的情况是当q与参数族中的任何分布相差太大时:在这种情况下，后验分布是无法提供任何信息的。
本文代码在这里：https://github.com/modirshanechi/medium_notes/blob/master/MediumRandomNotes/notebooks/Gaussian Posterior.ipynb
作者：Alireza Modirshanechi
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