贝塞尔方程与贝塞尔函数学习笔记

2022-11-17 12:42:54 浏览数 (1)

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

《数学物理方法（顾樵）》第13章学习笔记

第一节 几个微分方程的引入

  • 三维波动方程： ∂ 2 v ∂ t 2 = a 2 ( ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ 2 v ∂ y 2 ∂ 2 v ∂ z 2 ) ≡ a 2 ∇ 2 v frac{partial^2 v}{partial t^2} = a^2 (frac{partial^2 v}{partial x^2} frac{partial^2 v}{partial y^2} frac{partial^2 v}{partial z^2}) equiv a^2 nabla^2 v ∂t2∂2v​=a2(∂x2∂2v​ ∂y2∂2v​ ∂z2∂2v​)≡a2∇2v
  • 三维热传导方程： ∂ v ∂ t = a 2 ( ∂ 2 v ∂ x 2 ∂ 2 v ∂ y 2 ∂ 2 v ∂ z 2 ) ≡ a 2 ∇ 2 v frac{partial v}{partial t} = a^2 (frac{partial^2 v}{partial x^2} frac{partial^2 v}{partial y^2} frac{partial^2 v}{partial z^2}) equiv a^2 nabla^2 v ∂t∂v​=a2(∂x2∂2v​ ∂y2∂2v​ ∂z2∂2v​)≡a2∇2v

对三维波动方程与三维热传导方程使用分离变量法，得到时间上的方程，以及空间上的名为亥姆霍兹方程的方程。

  • 亥姆霍兹方程： ∇ 2 u ( r ) k 2 u ( r ) = 0 nabla^2 u(pmb r) k^2u(pmb r) = 0 ∇2u(rrr) k2u(rrr)=0

将亥姆霍兹方程变换到球坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的球贝塞尔方程，以及以半径与 z z z 轴夹角为自变量再经变量代换得到的连带勒让德方程。 球贝塞尔方程中设定特殊值，可以得到欧拉方程。 连带勒让德方程中设定特殊值，可以得到勒让德方程。

  • 球贝塞尔方程： d d r ( r 2 d R d r ) ( k 2 r 2 − w 2 ) R = 0 frac{d}{dr}(r^2 frac{dR}{dr}) (k^2r^2-w^2)R = 0 drd​(r2drdR​) (k2r2−w2)R=0
  • 连带勒让德方程： d d r [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] ( w 2 − m 2 1 − x 2 ) y = 0 frac{d}{dr}[(1-x^2)frac{dy}{dx}] (w^2-frac{m^2}{1-x^2})y = 0 drd​[(1−x2)dxdy​] (w2−1−x2m2​)y=0
  • 欧拉方程： d d r ( r 2 d R d r ) − w 2 R = 0 frac{d}{dr}(r^2 frac{dR}{dr})-w^2R = 0 drd​(r2drdR​)−w2R=0
  • 勒让德方程： d d r [ ( 1 − x 2 ) d y d x ] w 2 y = 0 frac{d}{dr}[(1-x^2)frac{dy}{dx}] w^2y = 0 drd​[(1−x2)dxdy​] w2y=0

将亥姆霍兹方程变换到柱坐标上，再次应用分离变量法，得到以半径为自变量的方程，进一步应用变量代换，得到贝塞尔方程。

  • 贝塞尔方程： x 2 d 2 y d x 2 x d y d x ( x 2 − m 2 ) y = 0 x^2frac{d^2 y}{dx^2} xfrac{dy}{dx} (x^2 -m^2)y = 0 x2dx2d2y​ xdxdy​ (x2−m2)y=0

这些方程也可以直接通过施图姆-刘维尔型方程引入。 d d x [ k ( x ) d y d x ] − q ( x ) y λ ρ ( x ) y = 0 frac{d}{dx}[k(x)frac{dy}{dx}]-q(x)y lambda rho(x)y = 0 dxd​[k(x)dxdy​]−q(x)y λρ(x)y=0 所以对于这些函数的本征函数集，可以通过施图姆-刘维尔型方程的结论验证正交性。

第二节 伽马函数的基本知识

  • 定义 Γ ( x ) = ∫ 0 ∞ e − t t x − 1 d t ( x > 0 ) Gamma(x)=int ^infty _0 e^{-t}t^{x-1}dt (x>0) Γ(x)=∫0∞​e−ttx−1dt (x>0)
  • 基本性质

公式

公式

Γ ( 1 ) = 1 Gamma(1)=1 Γ(1)=1

Γ ( 1 2 ) = π Gamma(frac{1}{2})=sqrt{pi} Γ(21​)=π ​

Γ ( x 1 ) = x Γ ( x ) Gamma(x 1)=xGamma(x) Γ(x 1)=xΓ(x)

Γ ( n 1 ) = n ! ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) Gamma(n 1)=n! (n=0,1,2,…) Γ(n 1)=n! (n=0,1,2,...)

Γ ( n 1 2 ) = ( 2 n ) ! 2 2 n n ! π Gamma(n frac{1}{2})=frac{(2n)!}{2^{2n}n!}sqrt{pi} Γ(n 21​)=22nn!(2n)!​π ​

Γ ( n 1 2 1 ) = ( 2 n 1 ) ! 2 2 n 1 n ! π Gamma(n frac{1}{2} 1)=frac{(2n 1)!}{2^{2n 1}n!}sqrt{pi} Γ(n 21​ 1)=22n 1n!(2n 1)!​π ​

当n比较大的时候，使用变量代换，可得到斯特林公式： n ! ≈ 2 π n n n e − n n!approx sqrt{2pi n}n^n e^{-n} n!≈2πn ​nne−n

第三节 求解贝塞尔方程

使用 Frobenius方法 得到级数形式的解的系数的方程，进而得到第一类贝塞尔函数。 贝塞尔方程的通解有两种形式。 在讨论贝塞尔方程通解的第二种形式的时候，利用第一类贝塞尔方程构造得到第二类 v v v阶贝塞尔函数（也称 诺依曼函数 ）。

  • v v v阶第一类贝塞尔函数： J v ( x ) = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m m ! Γ ( m v 1 ) ( x 2 ) 2 m v J_v(x)=sum^infty _{m=0}frac{(-1)^m}{m!Gamma(m v 1)}(frac{x}{2})^{2m v} Jv​(x)=m=0∑∞​m!Γ(m v 1)(−1)m​(2x​)2m v
  • 诺依曼函数 Y v ( x ) = { J v ( x ) cos ⁡ v π − J − v ( x ) sin ⁡ v π v ∉ Z lim ⁡ α → v J α ( x ) cos ⁡ α π − J − α ( x ) sin ⁡ α π v ∈ Z Y_v(x)=begin{dcases} frac{J_v(x)cos vpi-J_{-v}(x)}{sin vpi} v notin mathbb{Z} \ \ lim_{alpha to v}frac{J_alpha(x)cos alphapi-J_{-alpha}(x)}{sin alphapi} v in mathbb{Z}\ end{dcases} Yv​(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​sinvπJv​(x)cosvπ−J−v​(x)​ v∈/​Zα→vlim​sinαπJα​(x)cosαπ−J−α​(x)​ v∈Z​

两个补充： Y n ( x ) = 2 π ( ln ⁡ x 2 γ ) J n ( x ) − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( n − l − 1 ) ! k ! ( x 2 ) 2 k − n − 1 π ∑ k = 0 n − 1 ( − 1 ) k k ! ( n k ) ! [ Φ ( k ) Φ ( n k ) ] ( x 2 ) 2 k n begin{aligned}Y_n(x)=&frac{2}{pi}(lnfrac{x}{2} gamma)J_n(x)\ &-frac{1}{pi}sum^{n-1}_{k=0}frac{(n-l-1)!}{k!}(frac{x}{2})^{2k-n}\&-frac{1}{pi}sum^{n-1}_{k=0}frac{(-1)^k}{k!(n k)!}[Phi(k) Phi(n k)](frac{x}{2})^{2k n}end{aligned} Yn​(x)=​π2​(ln2x​ γ)Jn​(x)−π1​k=0∑n−1​k!(n−l−1)!​(2x​)2k−n−π1​k=0∑n−1​k!(n k)!(−1)k​[Φ(k) Φ(n k)](2x​)2k n​ Y n ( x ) = 1 π ∫ 0 π sin ⁡ ( x sin ⁡ θ − n θ ) d θ − 1 π ∫ 0 ∞ [ e n t ( − 1 ) n e − n t ] e − x sinh ⁡ t d t begin{aligned}Y_n(x)=&frac{1}{pi}int ^{pi} _{0} sin (xsin theta-ntheta)dtheta \ &-frac{1}{pi}int ^{infty} _{0}[e^{nt} (-1)^n e^{-nt}]e^{-xsinh t}dtend{aligned} Yn​(x)=​π1​∫0π​sin(xsinθ−nθ)dθ−π1​∫0∞​[ent (−1)ne−nt]e−xsinhtdt​ 其中： Φ ( n ) = 1 1 2 1 3 . . . 1 n , Φ ( 0 ) = 0 γ = lim ⁡ n → ∞ ( Φ ( n ) − ln ⁡ n ) = 0.577 begin{aligned}Phi(n)&=1 frac{1}{2} frac{1}{3} … frac{1}{n}, Phi(0)=0\ gamma&=lim _{nto infty} (Phi(n)-ln n)=0.577end{aligned} Φ(n)γ​=1 21​ 31​ ... n1​, Φ(0)=0=n→∞lim​(Φ(n)−lnn)=0.577​

第四节 贝塞尔函数的基本性质

  • 生成函数：该函数的级数展开式的系数是贝塞尔函数。 整数阶贝塞尔函数 J n ( x ) J_n(x) Jn​(x) 的生成函数： exp ⁡ [ x 2 ( r − 1 r ) ] = ∑ n = − ∞ ∞ J n ( x ) r n exp [frac{x}{2}(r-frac{1}{r})]=sum^{infty}_{n=-infty}J_n(x)r^n exp[2x​(r−r1​)]=n=−∞∑∞​Jn​(x)rn
  • 性质

第一类贝塞尔函数

第二类贝塞尔函数

d d x [ x v J v ( x ) ] = x v J v − 1 ( x ) frac{d}{dx}[x^vJ_v(x)]=x^vJ_{v-1}(x) dxd​[xvJv​(x)]=xvJv−1​(x)

d d x [ x v Y v ( x ) ] = x v Y v − 1 ( x ) frac{d}{dx}[x^vY_v(x)]=x^vY_{v-1}(x) dxd​[xvYv​(x)]=xvYv−1​(x)

d d x [ x − v J v ( x ) ] = − x − v J v 1 ( x ) frac{d}{dx}[x^{-v}J_v(x)]=-x^{-v}J_{v 1}(x) dxd​[x−vJv​(x)]=−x−vJv 1​(x)

d d x [ x − v Y v ( x ) ] = − x − v Y v 1 ( x ) frac{d}{dx}[x^{-v}Y_v(x)]=-x^{-v}Y_{v 1}(x) dxd​[x−vYv​(x)]=−x−vYv 1​(x)

J v ′ ( x ) = 1 2 [ J v − 1 ( x ) − J v 1 ( x ) ] J’_v(x)=frac{1}{2}[J_{v-1}(x)-J_{v 1}(x)] Jv′​(x)=21​[Jv−1​(x)−Jv 1​(x)]

J v ′ ( x ) = 1 2 [ J v − 1 ( x ) − J v 1 ( x ) ] J’_v(x)=frac{1}{2}[J_{v-1}(x)-J_{v 1}(x)] Jv′​(x)=21​[Jv−1​(x)−Jv 1​(x)]

J v − 1 ( x ) J v 1 ( x ) = 2 v x J v ( x ) J_{v-1}(x) J_{v 1}(x)=frac{2v}{x}J_v(x) Jv−1​(x) Jv 1​(x)=x2v​Jv​(x)

Y v − 1 ( x ) Y v 1 ( x ) = 2 v x Y v ( x ) Y_{v-1}(x) Y_{v 1}(x)=frac{2v}{x}Y_v(x) Yv−1​(x) Yv 1​(x)=x2v​Yv​(x)

x J v − 1 ( x ) = v J v ( x ) x J v ′ ( x ) xJ_{v-1}(x)=vJ_v(x) xJ’_v(x) xJv−1​(x)=vJv​(x) xJv′​(x)

x Y v − 1 ( x ) = v Y v ( x ) x Y v ′ ( x ) xY_{v-1}(x)=vY_v(x) xY’_v(x) xYv−1​(x)=vYv​(x) xYv′​(x)

x J v 1 ( x ) = v J v ( x ) − x J v ′ ( x ) xJ_{v 1}(x)=vJ_v(x)-xJ’_v(x) xJv 1​(x)=vJv​(x)−xJv′​(x)

x Y v 1 ( x ) = v Y v ( x ) − x Y v ′ ( x ) xY_{v 1}(x)=vY_v(x)-xY’_v(x) xYv 1​(x)=vYv​(x)−xYv′​(x)

  • 整数阶贝塞尔函数积分形式 有两种方法得到其积分形式。 一是根据生成函数在复数域上的解析函数，由其洛朗级数系数在特殊闭合回路上得到。 二是由同样的解析函数出发，在某个特殊闭合回路上将函数展开，通过比较等号左右两边的形式，结合三角函数的正交性，再通过三角函数公式得到积分形式。 J n = 1 π ∫ 0 π cos ⁡ ( x sin ⁡ θ − n θ ) d θ ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) J_n=frac{1}{pi}int ^pi _0 cos (xsin theta-ntheta)dtheta (n=0,pm1, pm2,…) Jn​=π1​∫0π​cos(xsinθ−nθ)dθ (n=0,±1,±2,...)
  • 整数阶贝塞尔函数渐进公式 使用稳定相方法获取其渐进公式： J n ( x ) ≈ 2 π x cos ⁡ ( x − π 4 − n π 2 ) ( n = 0 , 1 , 2 , . . . ) J_n(x)approx sqrt{frac{2}{pi x}}cos(x-frac{pi}{4}-frac{npi}{2}) (n=0,1,2,…) Jn​(x)≈πx2​ ​cos(x−4π​−2nπ​) (n=0,1,2,...)

第五节 贝塞尔函数的正交完备性

  1. 类比 正弦函数集 S m ( x ) = sin ⁡ ( m π x ) S_m(x)=sin(mpi x) Sm​(x)=sin(mπx)，构建正交的贝塞尔函数集。
  2. 结合参数形式的贝塞尔函数集 J v ( λ x ) J_v(lambda x) Jv​(λx) 的性质，在区间 [ 0 , a ] [0,a] [0,a] 上证明 正交性： ∫ 0 a x J v ( λ v m x ) J v ( λ v k x ) d x = 0 ( m ≠ k ) int_0^a xJ_v(lambda_{vm}x)J_v(lambda_{vk}x)dx=0 (mne k) ∫0a​xJv​(λvm​x)Jv​(λvk​x)dx=0 (m​=k) 并计算模值： ∫ 0 a x J v 2 ( λ v m x ) d x = a 2 2 J v 1 2 ( μ v m ) ( m = 1 , 2 , . . . ) int_0^a xJ^2_v(lambda_{vm}x)dx=frac{a^2}{2}J^2_{v 1}(mu_{vm}) (m=1,2,…) ∫0a​xJv2​(λvm​x)dx=2a2​Jv 12​(μvm​) (m=1,2,...)
  3. 完备性： f ( x ) = ∑ m = 1 ∞ A m J v ( λ v m x ) f(x)=sum^infty _{m=1} A_mJ_v(lambda_{vm}x) f(x)=m=1∑∞​Am​Jv​(λvm​x) A m = 2 [ a J v 1 ( μ v m ) ] 2 ∫ 0 a x J v ( λ v m x ) f ( x ) d x A_m=frac{2}{[aJ_{v 1}(mu_{vm})]^2}int^a_0 xJ_v(lambda_{vm}x)f(x)dx Am​=[aJv 1​(μvm​)]22​∫0a​xJv​(λvm​x)f(x)dx

贝塞尔级数在间断点处的收敛性由狄利克雷定理确定。

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