常见函数的泰勒公式展开_基本泰勒公式展开表

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 x 1 2 ! x 2 ⋯ ∈ ( − ∞ , ∞ ) sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n 1 ) ! x 2 n 1 = x − 1 3 ! x 3 1 5 ! x 5 ⋯ , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 − 1 2 ! x 2 1 4 ! x 4 ⋯ , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) ln ⁡ ( 1 x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n n 1 x n 1 = x − 1 2 x 2 1 3 x 3 ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ] 1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 x x 2 x 3 ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) 1 1 x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x x 2 − x 3 ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) ( 1 x ) α = 1 ∑ n = 1 ∞ α ( α − 1 ) ⋯ ( α − n 1 ) n ! x n = 1 α x α ( α − 1 ) 2 ! x 2 ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) arctan ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 n 1 x 2 n 1 = x − 1 3 x 3 1 5 x 5 ⋯ x ∈ [ − 1 , 1 ] arcsin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( 2 n ) ! 4 n ( n ! ) 2 ( 2 n 1 ) x 2 n 1 = x 1 6 x 3 3 40 x 5 5 112 x 7 35 1152 x 9 ⋯ , x ∈ ( − 1 , 1 ) tan ⁡ x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( − 4 ) n ( 1 − 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n − 1 = x 1 3 x 3 2 15 x 5 17 315 x 7 62 2835 x 9 1382 155925 x 11 21844 6081075 x 13 929569 638512875 x 15 ⋯ , x ∈ ( − π 2 , π 2 ) begin{aligned} e^{x}&=sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n !} x^{n}=1 x frac{1}{2 !} x^{2} cdots in(-infty, infty) \ sin x&=sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n}}{(2 n 1) !} x^{2 n 1}=x-frac{1}{3 !} x^{3} frac{1}{5 !} x^{5} cdots, x in(-infty, infty) \ cos x&=sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n}}{(2 n) !} x^{2 n}=1-frac{1}{2 !} x^{2} frac{1}{4 !} x^{4} cdots, x in(-infty, infty) \ ln (1 x)&=sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n}}{n 1} x^{n 1}=x-frac{1}{2} x^{2} frac{1}{3} x^{3} cdots, x in(-1,1] \ frac{1}{1-x}&=sum_{n=0}^{infty} x^{n}=1 x x^{2} x^{3} cdots, x in(-1,1) \ frac{1}{1 x}&=sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n} x^{n}=1-x x^{2}-x^{3} cdots, x in(-1,1)\ (1 x)^{alpha}&=1 sum_{n=1}^{infty} frac{alpha(alpha-1) cdots(alpha-n 1)}{n !} x^{n}=1 alpha x frac{alpha(alpha-1)}{2 !} x^{2} cdots, x in(-1,1) \ arctan x&=sum_{n=0}^{infty} frac{(-1)^{n}}{2 n 1} x^{2 n 1}=x-frac{1}{3} x^{3} frac{1}{5} x^{5} cdots x in[-1,1] \ arcsin x&=sum_{n=0}^{infty} frac{(2 n) !}{4^{n}(n !)^{2}(2 n 1)} x^{2n 1}=x frac{1}{6} x^{3} frac{3}{40} x^{5} frac{5}{112} x^{7} frac{35}{1152} x^{9} cdots , x in(-1,1)\ tan x&=sum_{n=1}^{infty} frac{B_{2 n}(-4)^{n}left(1-4^{n}right)}{(2 n) !} x^{2 n-1}=x frac{1}{3} x^{3} frac{2}{15} x^{5} frac{17}{315} x^{7} frac{62}{2835} x^{9} frac{1382}{155925} x^{11} frac{21844}{6081075} x^{13} frac{929569}{638512875} x^{15} cdots,xin (-frac{pi}{2},frac{pi}{2}) end{aligned} exsinxcosxln(1 x)1−x11 x1(1 x)αarctanxarcsinxtanx=n=0∑∞n!1xn=1 x 2!1x2 ⋯∈(−∞, ∞)=n=0∑∞(2n 1)!(−1)nx2n 1=x−3!1x3 5!1x5 ⋯,x∈(−∞, ∞)=n=0∑∞(2n)!(−1)nx2n=1−2!1x2 4!1x4 ⋯,x∈(−∞, ∞)=n=0∑∞n 1(−1)nxn 1=x−21x2 31x3 ⋯,x∈(−1,1]=n=0∑∞xn=1 x x2 x3 ⋯,x∈(−1,1)=n=0∑∞(−1)nxn=1−x x2−x3 ⋯,x∈(−1,1)=1 n=1∑∞n!α(α−1)⋯(α−n 1)xn=1 αx 2!α(α−1)x2 ⋯,x∈(−1,1)=n=0∑∞2n 1(−1)nx2n 1=x−31x3 51x5 ⋯ x∈[−1,1]=n=0∑∞4n(n!)2(2n 1)(2n)!x2n 1=x 61x3 403x5 1125x7 115235x9 ⋯ ,x∈(−1,1)=n=1∑∞(2n)!B2n(−4)n(1−4n)x2n−1=x 31x3 152x5 31517x7 283562x9 1559251382x11 608107521844x13 638512875929569x15 ⋯,x∈(−2π,2π)