求微分方程的特解matlab_二阶微分方程求解

求解微分方程

desolve函数
- 实例1
- 实例2
- 实例3
- 实例4
求解有条件的微分方程
微分方程显示隐式解
未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
求微分方程级数解
为具有不同单边限制的函数指定初始条件（特解）
练习题

desolve函数

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S = dsolve(eqn)求解微分方程eqn，其中eqn是符号方程。使用diff和==来表示微分方程。例如，diff(y,x) == y表示方程dy / dx  =  y。通过指定 eqn为这些方程的向量来求解微分方程组。

S = dsolve(eqn,cond)eqn用初始或边界条件求解cond。

S = dsolve(___,Name,Value) 使用由一个或多个Name,Value对参数指定的附加选项。

[y1,...,yN] = dsolve(___)将解分配给变量y1,...,yN。

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求解y关于什么的函数就要声明为y (x) ，必须使用syms来声变量, 否则会被警告

实例1

d d x y ⁡ ( t ) = − 3 y ⁡ ( t ) frac{d}{ {dx}}operatorname{y} left( t right) = – 3operatorname{y} left( t right) dxdy(t)=−3y(t)

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%案例一
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syms y(t); 
eqn=diff(y,t) == -3*y
F=dsolve(eqn)
latex(F)

C 1 e − 3 t C_{1},{mathrm{e}}^{-3,t} C1e−3t

实例2

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%案例二
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syms y(t) a
eqn = diff(y,t) == a*y
S = dsolve(eqn)

结果和上面相似

实例3

d d x y ⁡ ( t ) = 3 x 2 frac{d}{ {dx}}operatorname{y} left( t right) = 3{x^2} dxdy(t)=3x2

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%案例三
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syms y(t) x
eqn=diff(y,t)==3*x^2
F=dsolve(eqn) 
latex(F)

3 t x 2 C 1 3,t,x^2 C_{1} 3tx2 C1

实例4

d 2 d x 2 y ⁡ ( t ) = a y ⁡ ( t ) frac{ { {d^2}}}{ {d{x^2}}}operatorname{y} left( t right) = aoperatorname{y} left( t right) dx2d2y(t)=ay(t)

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%二阶案例一
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syms y(t) a
eqn = diff(y,t,2) == a*y
ySol(t) = dsolve(eqn)
latex(ySol(t))

C 1 e − a t C 2 e a t C_{1},{mathrm{e}}^{-sqrt{a},t} C_{2},{mathrm{e}}^{sqrt{a},t} C1e−a t C2ea t

求解有条件的微分方程

d y d t = z d z d t = − y begin{gathered} frac{ {dy}}{ {dt}} = z \ frac{ {dz}}{ {dt}} = – y \ end{gathered} dtdy=zdtdz=−y

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%有条件的微分方程
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)

dsolve返回一个包含解的结构

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%有条件的微分方程案例1
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == z, diff(z,t) == -y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z

C 1 cos ⁡ ( t ) C 2 sin ⁡ ( t ) C_{1},cosleft(tright) C_{2},sinleft(tright) C1cos(t) C2sin(t) C 2 cos ⁡ ( t ) − C 1 sin ⁡ ( t ) C_{2},cosleft(tright)-C_{1},sinleft(tright) C2cos(t)−C1sin(t) ( ∂ ∂ t y ⁡ ( t ) = 4 z ⁡ ( t ) ∂ ∂ t z ⁡ ( t ) = − 3 y ⁡ ( t ) ) left( {frac{partial }{ {partial t}}operatorname{y} left( t right) = 4operatorname{z} left( t right),frac{partial }{ {partial t}}operatorname{z} left( t right) = -3operatorname{y} left( t right)} right) (∂t∂y(t)=4z(t)∂t∂z(t)=−3y(t))

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%有条件的微分方程案例2
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syms y(t) z(t)
eqns = [diff(y,t) == 4*z, diff(z,t) == -3*y]
S = dsolve(eqns)
ySol(t) = S.y
zSol(t) = S.z

其实也可以直接用

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%输出分配
[ySol(t),zSol(t)] = dsolve(eqns)

微分方程显示隐式解

∂ ∂ x y ⁡ ( x ) = e − y ⁡ ( x ) y ⁡ ( x ) frac{partial }{ {partial x}}operatorname{y} left( x right) = {e^{ – operatorname{y} left( x right)}} operatorname{y} left( x right) ∂x∂y(x)=e−y(x) y(x)

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%这里我们设置"Inplicit"为True
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

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%求微分方程的显式和隐式解
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syms y(x)
eqn = diff(y) == y exp(-y)
sol = dsolve(eqn)
sol = dsolve(eqn,'Implicit',true)

未找到显式解决方案时查找隐式解决方案

∂ ∂ t y ⁡ ( x ) = y ⁡ ( x ) a y ⁡ ( x ) frac{partial }{ {partial t}}operatorname{y} left( x right) = operatorname{y} left( x right) frac{a}{ {sqrt {operatorname{y} left( x right)} }} ∂t∂y(x)=y(x) y(x) a 同时我们已知 y ( a ) = 1 y(a)=1 y(a)=1

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%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
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syms a y(t)
eqn = diff(y,t) == a/sqrt(y)   y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)

若要返回包含参数a的所有可能值的解决方案，请通过将”lgnoreAnalyticConstraints”设置为false来关闭简化。

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yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

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%当未找到显式解决方案时查找隐式解决方案
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syms a y(x)
eqn = diff(y,x) == a/sqrt(y)   y
cond = y(a) == 1;
ySimplified = dsolve(eqn, cond)
yNotSimplified = dsolve(eqn,cond,'IgnoreAnalyticConstraints',false)

求微分方程级数解

dsolve返回包含未计算积分项的解 ( x 1 ) ∂ ∂ x y ⁡ ( x ) − y ⁡ ( x ) ∂ 2 ∂ x 2 y ⁡ ( x ) = 0 left( {x 1} right)frac{partial }{ {partial x}}operatorname{y} left( x right) – operatorname{y} left( x right) frac{ { {partial ^2}}}{ {partial {x^2}}}operatorname{y} left( x right) = 0 (x 1)∂x∂y(x)−y(x) ∂x2∂2y(x)=0

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%级数1
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syms y(x)
eqn = (x^2-1)^2*diff(y,2)   (x 1)*diff(y) - y == 0
S = dsolve(eqn)

但是若要返回x=-1附近微分方程的级数解，请将“ExpansionPoint”设置为 -1。dsolve 根据Puiseux级数展开返回两1个线性无关的解。

通过将‘ExpansionPoint’设置为 I n f Inf Inf,找到围绕扩展点 ∞ infty ∞的其他级数解

为具有不同单边限制的函数指定初始条件（特解）

∂ ∂ x y ⁡ ( x ) = e − 1 x x 2 frac{partial }{ {partial x}}operatorname{y} left( x right) = frac{ { {e^{ – frac{1}{x}}}}}{ { {x^2}}} ∂x∂y(x)=x2e−x1

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%添加条件
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syms y(x)
eqn = diff(y) == exp(-1/x)/x^2
ySol(x) = dsolve(eqn)

设初始条件 y ( 0 ) = 2 y(0)=2 y(0)=2,则须添加下列代码：

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cond = y(0) == 2;
S = dsolve(eqn,cond)

练习题

可以直接敲代码试试 d y d t 4 y ⁡ ( t ) = e − t , y ( 0 ) = 1 frac{ {dy}}{ {dt}} 4operatorname{y} left( t right) = {e^{ – t}},y(0)=1 dtdy 4y(t)=e−t,y(0)=1

2 x 2 d 2 y d x 2 3 x d y d x − y = 0 2{x^2}frac{ { {d^2}y}}{ {d{x^2}}} 3xfrac{ {dy}}{ {dx}} – y = 0 2x2dx2d2y 3xdxdy−y=0

The Airy equation. d 2 y d x 2 = x y ⁡ ( x ) frac{ { {d^2}y}}{ {d{x^2}}} = xoperatorname{y} left( x right) dx2d2y=xy(x)

发布者：全栈程序员-用户IM，转载请注明出处：https://javaforall.cn/223087.html原文链接：https://javaforall.cn

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