今天小编用LaTex进行排版公式，但是由于latex不支持图片的导出，故只能截图给大家看下效果图，具体的我没用模版。有兴趣地可以去下载latex套装，即ctex（外加编辑器texstudio）。还有最近的SW玩的不是很好，有大佬会SW的话可以交流一下。今天学习了自上而下建模，画了个机构，但是动不了。
基础题讲的是关于中值定理的证明问题，首先是找原函数的问题，这里用的是还原法进行原函数的寻找，有的要用到常见的e的函数的性质，做的多的话可以直接看出来，其次注意的是变限积分的处理，一般就可以看成原函数求导得到的函数，后面就是注意定理使用的体条件，这两个题是中值定理的经典题，希望大家能够用心去体验。
提高题讲的是关于中值定理的应用，首先对于不等式的证明想到柯西中值定理的应用是不简单的，但是这个是个比较巧妙的方法，一般用到函数特殊点的性质，后面转换成函数的极值问题也要注意，因为中值那个点是不确定的，注意用函数的极值做就可以，先找驻点，再用第二极值条件判断函数的极值，得出证明结果。
数学代码:
代码语言：javascript复制documentclass{article}
usepackage{amsmath}
usepackage{ctex}
title{接力题典 1800}
date{4月20日}
author{小熊}
begin{document}
maketitle
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text{基础篇 41 设}fleft( x right) text{在}left[ a,b right] text{上连续，在}left( a,b right) text{内可导，且}fleft( a right) =fleft( b right) =0,text{证明;}
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left( 1 right) text{存在}xi in left( a,b right) text{，使得}f^’left( xi right) =2xi fleft( xi right) ;
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left( 2 right) text{存在}eta in left( a,b right) text{，}stext{使得}eta f^’left( eta right) fleft( eta right) =0.
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text{解：}left( 1 right) text{令}varphi left( x right) =e^{-x^2}fleft( x right) text{，}varphi ^{'}left( x right) =-2xe^{-x^2}fleft( x right) e^{-x^2}fleft( x right) text{，}e^{-x^2}ne 0text{，}
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text{由于}fleft( a right) =fleft( b right) =0text{，所以得到}varphi left( a right) =varphi left( b right) =0text{，由罗尔定理得到，存在}
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xi in left( a,b right) text{内，使得}varphi ^{'}left( xi right) =0text{，即得证}f^{'}left( xi right) =2xi fleft( xi right) text{；}
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left( 2 right) text{令}Gleft( x right) =xfleft( x right) text{，}G^{'}left( x right) =fleft( x right) xf^{'}left( x right) text{，}Gleft( a right) =Gleft( b right) ,text{所以由罗尔定理，}
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text{存在一点}eta in left( a,b right) text{，使得}G^{'}left( x right) =0text{，则有}eta f^{'}left( eta right) fleft( eta right) =0.
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text{解题思路；对于这种问题，一般就是直接考虑函数的构造问题，对于这两问都可以采用}
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text{还原法来找原函数，}gleft( x right) fleft( x right) f^{'}left( x right) =0,text{将}fleft( x right) text{集中到一边，即得到}ln e^{gleft( x right)} ln fleft( x right) =0
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text{故原函数就可以得到}Mleft( x right) =e^{gleft( x right)}fleft( x right) text{，只是将不同的}gleft( x right) text{进行代换。}
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42 text{设}fleft( x right) text{在}left[ 0,1 right] text{上连续，证明;存在}xi in left( 0,1 right) text{内，使得}int_0^{xi}{fleft( t right) dt }left( xi -1 right) fleft( xi right) =0.
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text{解：将题目中的}xi text{换成}xtext{进行代换，整理得}int_0^x{fleft( t right) dt xfleft( x right)}-fleft( x right) =0,
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text{即还原得}left( xint_0^x{fleft( t right) dt-int_0^x{fleft( t right) dt}} right) ^’=0text{，}Gleft( x right) =xint_0^x{fleft( t right) dt-int_0^x{fleft( t right) dt}}text{，}
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Gleft( 0 right) =0,Gleft( 1 right) =0text{，由罗尔定理得存在一点}xi in left( 0,1 right) text{内，使得}G^{'}left( xi right) =0text{，}
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text{即得}int_0^{xi}{fleft( t right) dt }left( xi -1 right) fleft( xi right) =0text{。}
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text{解题思路：首先对函数进行处理，注意一般将要求的式子进行换元，然后进行}
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text{还原，注意变限积分的式子的处理，求导的过称注意代换，后面就是找罗尔定理}
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text{的条件即可得出结果。}
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text{提高篇 73 当}x>0text{时，证明：}frac{arcttan x}{ln left( 1 x right)}le frac{sqrt{2} 1}{2}.
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text{解：用拉格朗日中值定理做的话比较简单，}Gleft( x right) =arctan x,gleft( x right) =ln left( 1 x right) text{，}
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text{注意}Gleft( 0 right) =0,gleft( 0 right) =0text{，由柯西中值定理，存在}xi in left( 0,x right) text{内，使得}
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frac{arcttan x}{ln left( 1 x right)}=frac{Gleft( x right) -Gleft( 0 right)}{gleft( x right) -gleft( 0 right)}=frac{G^{'}left( xi right)}{g^{'}left( xi right)}=frac{1 xi}{1 xi ^2}text{，令}varphi left( x right) =frac{1 x}{1 x^2}text{，}
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varphi ^{'}left( x right) =frac{1-2x-x^2}{left( 1 x^2 right) ^2}=0text{，得}x=sqrt{2}-1text{，当}xin left( 0,sqrt{2}-1 right) text{，}varphi ^{'}left( x right) >0,
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text{反之在}xin left( sqrt{2}-1, infty right) text{，}varphi ^{'}left( x right) <0.text{故}varphi left( x right) _{max}=varphi left( sqrt{2}-1 right) =frac{sqrt{2} 1}{2}.
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text{即得证。本题还可以构造函数，直接用单调性直接证明大小。}
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text{解题思路：首先看证明的式子，左边是函数带有参数进行处理的话，右边是一个具体的值。想到的是柯西中值}
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text{定理的应用，然后找其中值定理的条件，后面得到一个关系式子之后，实质就是求函数的最大值，故对函数进行求导}
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text{然后就是函数单调性的应用，先找到函数的驻点，然后利用第二极值判断条件，得到函数的最大值，后面直接代换就}
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$$
text{证明结果。}
$$
end{document}，
