考研数学综合题2

一道级数收敛的综合问题

已知

displaystyledfrac{a^{'}_{n}(x)}{cos x}=sum_{k=1}^{n}(k 1)sin^{k}x

，

xin[0,dfrac{pi}{2})

，

a_{n}(0)=0

. （1）证明数列

{a_{n}(1)}

收敛；（2）若级数

displaystylesum_{n=1}^{infty}(-1)^{n}dfrac{1}{n^{p}a_{n}(1)}

条件收敛，求常数

的取值范围.

解：（1）根据题意，变形得

displaystyle a^{'}_{n}(x)=cos xcdotsum_{k=1}^{n}(k 1)sin^{k}x

，由奇数的逐项可积有，

displaystyle begin{align*}a_{n}(1)-a_{n}(0) &=int_{0}^{1}a_{n}^{'}(x)dx=int_{0}^{1}[2sin x 3sin^2 x dotsb (n 1)sin^n x]d(sin x)\ &=(sin^2 x sin^3 x dotsb sin^{n 1}x)|_{0}^{1}=sin^2 1 sin^3 1 dotsb sin^{n 1} 1\ &=sin^2 1cdotdfrac{1-sin^{n}1}{1-sin 1}end{align*}

根据三角函数的有界性，可知

textstyle 0<sin 1<1

，所以

displaystyle a_{n}(1)=dfrac{sin^2 1}{1-sin 1}(1-sin^n 1)

是单调递增的，且

displaystyle a_{n}(1)<dfrac{sin^2 1}{1-sin 1}

；综合上述，由单调有界准则知

{a_{n}(1)}

是收敛的；

（2）令一般项

u_{n}=(-1)^{n}dfrac{1}{n^{p}a_{n}(1)}

，由题意，

|u_{n}|=dfrac{1}{n^pa_{n}(1)}=dfrac{1-sin 1}{sin^2 1}cdotdfrac{1}{n^p(1-sin^n 1)}

发散，所以

pleq 1

；当

p>0

时，

dfrac{|u_{n 1}|}{|u_{n}|}=dfrac{n^p(1-sin^{n}1)}{(n 1)^p(1-sin^{n 1})}=left(dfrac{n}{n 1}right)^pcdotdfrac{1-sin^n 1}{1-sin^{n 1}1} <1

，所以

{|u_{n}|}

是单调减少，且

limlimits_{n rightarrow infty}|u_{n}|=limlimits_{n rightarrow infty}dfrac{1-sin 1}{sin^2 1}cdotdfrac{1}{n^p(1-sin^n 1)}=0

，由莱布尼茨判别法知，级数收敛，根据上面可知，当

0 < p leq 1

时，级数

displaystylesum_{n=1}^{infty}(-1)^{n}dfrac{1}{n^{p}a_{n}(1)}

收敛。

数学

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