2022-11-23 15:10:19
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利用不等式放缩以及定积分的性质解决一道定积分证明题
设
f是定义在闭区间
[0,1]的连续函数，且
0 < m leq f(x) leq M，对于
x in [0,1]，证明：
displaystyleleft(int_{0}^{1}dfrac{dx}{f(x)}right)left(int_{0}^{1}f(x)dxright)leqdfrac{(m M)^2}{4mM}
分析：先利用
f(x)与最大值和最小值的关系，导出中间不等式，再利用定积分的定义求解。
解析：由于
0 < m leq f(x)leq M，可知
(f(x)-m)(f(x)-M)leq 0，再除以
f(x)得
displaystyledfrac{(f(x)-m)(f(x)-M)}{f(x)} leq 0，变形得
displaystyle f(x) dfrac{Mm}{f(x)}leq M m，
两边积分一下，
displaystyleint_{0}^{1}[f(x) dfrac{Mm}{f(x)}]dxleq int_{0}^{1}(M m)dx=M m，进一步化简得
displaystyleint_{0}^{1}f(x)dx Mmint_{0}^{1}dfrac{1}{f(x)}dxleq M m；
设
displaystyle Mmint_{0}^{1}dfrac{1}{f(x)}dx=lambda，带入上式有
displaystyle int_{0}^{1}f(x)dx lambda leq M m，两边同时乘以
lambda化简得
displaystylelambdaint_{0}^{1}f(x)dxleq (M m)lambda-lambda^2；
显然
(M m-2lambda)^2 geq 0，展开
displaystyle begin{align*}dfrac{(M m-2lambda)^2}{4}&=dfrac{(M m)^2-4(M m) 4lambda^2}{4}\&=dfrac{(M m)}{4}-(M m)lambda lambda^2 geq 0end{align*}
所以
displaystyle(M m)lambda-lambda^2 leq dfrac{(M m)^2}{4}，即
displaystyle lambdaint_{0}^{1}f(x)dx leq dfrac{(M m)^2}{4}，带入
lambda，有
displaystyle Mmint_{0}^{1}dfrac{1}{f(x)}dxint_{0}^{1}f(x)dx leq dfrac{(M m)^2}{4}，即
displaystyleleft(int_{0}^{1}dfrac{dx}{f(x)}right)left(int_{0}^{1}f(x)dxright)leqdfrac{(m M)^2}{4mM} Summer Time
