2022-11-23 15:12:28
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利用拉格朗日乘数法求解一道几何极值问题
求椭球面
displaystyle frac{x^2}{3} frac{y^2}{2} z^2=1被平面
x y z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴
分析：将空间几何问题转化为函数极值问题，利用拉格朗日乘数法解出最大值和最小值，即可得到结果。
解：可知平面
x y z=0过点
(0,0,0)，也就是过椭球面中心，设椭圆上任意一点为
(x,y,z)，则坐标原点到
(x,y,z)的距离为
d=sqrt{x^2 y^2 z^2}，设
F(x)=x^2 y^2 z^2 lambda(2x^2 3y^2 6z^2-6) mu(x y z)
begin{cases}F_{x}^{'}=2x 4lambda x mu=0 &(1)\F_{y}^{'}=2y 6lambda y mu=0 &(2)\F_{z}^{'}=2z 12lambda z mu=0 &(3)\F_{lambda}^{'}=2x^2 3y^2 6z^2-6=0 &(4)\F_{mu}^{'}=x y z=0 &(5)end{cases}
由题意知，目标函数是
x^2 y^2 z^2，所以将
(1)times x (2)times y (3)times z，得
2(x^2 y^2 z^2) lambda(4x^2 6y^2 12z^2) mu(x y z)=0qquad(6)
根据
(4),(5)式进一步化简
(6)式得
x^2 y^2 z^2 6lambda=0qquad(7)同理再根据
(1),(2),(3)式有
-mu=2x(1 2lambda)=2y(1 3lambda)=2z(1 6lambda)
将
z和
y用
x表示，有
y=dfrac{1 3lambda}{1 6lambda}x，
z=dfrac{1 2lambda}{1 6lambda}x，再带入
(7)式，有
1 dfrac{1 2lambda}{1 6lambda} dfrac{1 2lambda}{1 6lambda}=0，化简得
36lambda^2 22lambda 3=0，解得
lambda_{1,2}=dfrac{-11pmsqrt{13}}{36}，所以
d^2_{min}=-6lambda_{2}=dfrac{11-sqrt{13}}{36}，d^2_{max}=-6lambda_{1}=dfrac{-11 sqrt{13}}{36}
即椭圆长半轴为
sqrt{dfrac{11 sqrt{13}}{36}}，短半轴为
sqrt{dfrac{-11-sqrt{13}}{36}}
