2022-11-23 15:13:09
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利用中值定理以及数列极限的证明处理一道函数极限的综合题
设函数
f(x)在
[0,1]上连续且
f(0)=f(1)=0， 在
(0,1)内二阶可导且
f^{''} < 0，记
M=underset{0leq xleq 1}{max}f(x) > 0。（1）证明对任意的正整数
n，存在唯一的
x_{n}in(0,1)，使得
f^{'}(x_{n})=dfrac{M}{n}；（2）对（1）中得到的
{x_{n}}，证明
limlimits_{nrightarrowinfty}x_{n}存在，且
limlimits_{nrightarrowinfty}f^{'}(x_{n})=M分析：（1）可以利用构造函数的方法，再利用罗尔定理和零点定理构造条件证出等式；（2）可以利用利用单调有界准则证明极限存在。
解析：（1）由题意知，
f(x)在
[0,1]上取得最大值，记
x_{0}为
[0,1]上的最大值点，则
f(x_{0})=M.构造函数
F(x)=f(x)-dfrac{M}{n}x，由于
n是正整数，
0 < x_{0} <1，所以
F(x_{0})=M-dfrac{M}{n}x_{0} > 0，而
F(1)=-dfrac{M}{n} < 0，由零点定理有
exists xiin(x_{0},1)上，使得
F(xi)=0；同时
F(0)=0，根据罗尔定理，
exists x_{n}in(0,xi)subset(0,1)内，使得
F^{'}(x_{n})=0，即
f^{'}(x)=dfrac{M}{n}，同时
f^{''} < 0，即
f^{'}(x)单调递减，所以
x_{n}唯一；
（2）根据拉格朗日中值定理有，
f^{'}(x_{n 1})-f^{'}(x_{n})=f^{''}(lambda)(x_{n 1}-x_{n})，其中
lambdain(x_{n},x_{n 1})，变形得
x_{n 1}-x_{n}=dfrac{1}{f^{''}(lambda)}(dfrac{M}{n 1}-dfrac{M}{n}) > 0，而
x_{n} < 1，即
{x_{n}}单调递增有上界，所以
limlimits_{nrightarrowinfty}x_{n}存在；根据题意知
limlimits_{nrightarrowinfty}f^{'}(x_{n})=limlimits_{nrightarrow infty}dfrac{M}{n}=0，所以
f^{'}(limlimits_{nrightarrowinfty}x_{n})=0，根据第一问知
f^{'}(x_{0})=0，且导函数的零点唯一，所以
limlimits_{nrightarrow infty}x_{n}=x_{0}，所以
limlimits_{nrightarrowinfty}f^{'}(x_{n})=f^{'}(x_{0})=0。
作者：小熊
写作日期：7.15
