2022-11-23 15:23:18
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利用泰勒展开以及极限保号性证明一道函数的极值问题
设函数
f(x)满足初值问题
begin{cases}displaystyle f^{''}(x) [f^{'}(x)]^{2}=x^2\ f(0)=a,f^{'}(0)=0end{cases}的特解，试证明
x=0是
y=f(x)的极小值点。
分析：利用等式构造高阶函数的导数值，再利用泰勒展开进行函数的近似简化，利用定义构造极限求出
f(x)在
x=0左右的符号，进而求解。
解析：由
f(0)=a，
f^{'}(0)=0，
f^{''}(x) [f^{'}(x)]^{2}=x^2，可知
f^{''}(x)=x^2-[f^{'}(x)]，带入，求得
f^{''}(0)=0，同理再求一次导，有
f^{'''}(x)=2x-2f^{'}(x)f^{''}(x)，带入刚刚求的值，则
f^{'''}(0)=0；
f^{(4)}(x)=2-2[f^{''}(x)]^2-2f^{'}(x)cdot f^{'''}(x)，带入有
f^{(4)}(0)=2，所以
f^{(k)}(x)在
x=0是连续的，所以根据泰勒公式把函数在
x=0展开有
begin{align*}f(x)&=f(0) xf^{'}(0) dfrac{x^2}{2!}f^{''}(0) dfrac{x^3}{3!}f^{'''}(0) dfrac{x^4}{4!}f^{(4)}(0) dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(theta x)\&=a dfrac{x^4}{12} dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(theta x)quad(0 < theta < 1)end{align*}
所以
begin{align*}limlimits_{xrightarrow 0}f^{(4)}(x)&=limlimits_{xrightarrow 0}dfrac{f(x)-f(0)}{x^4}=limlimits_{xrightarrow 0}dfrac{a dfrac{x^4}{12} dfrac{x^5}{5!}f^{(5)}(theta x)}{x^4}\&=dfrac{1}{12} dfrac{1}{5!}limlimits_{xrightarrow 0}xf^{(5)}(theta x)=dfrac{1}{12}end{align*}
由极限的保号性知，
f(x)-f(0)在
x=0两侧均是正，所以
x=0是
f(x)的极小值点。
作者：小熊
写作日期：7.19
