2022-11-23 15:59:02
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利用交换积分以及级数性质求解一道数列通项的问题
已知函数
displaystyle f(x)=int_{0}^{frac{pi}{2}}sin 2tdtint_{0}^{x}dfrac{u^2du}{(1 u^2sin^2t)}
，
displaystyle F(x)=f(x)-x=sum_{n=0}^{infty}a_{n}x^n,-1 < x < 1，求
a_{n}的表达式。
分析：首先解出
f(x)的表达式，但是直接积分是求不出来的，可以采用累次积分，后面根据函数展开成幂级数，对比对应项即可求解。
解析：先交换积分次序，得
displaystyle f(x)=int_{0}^{x}[int_{0}^{frac{pi}{2}}frac{u^2sin 2t}{(1 u^2sin^2t)}dt]du，两边对
x求导，有
begin{align*}displaystyle f^{'}(x)&=int_{0}^{frac{pi}{2}}dfrac{x^2sin 2t}{(1 x^2sin^2t)}dt=int_{0}^{frac{pi}{2}}dfrac{d(1 x^2sin^2t)}{(1 x^2sin ^2 t)}\ &=-dfrac{1}{1-x^2sin^2t}bigg|_{t=0}^{t=frac{pi}{2}}=-dfrac{1}{1 x^2} 1end{align*}
再利用定积分性质有
begin{align*}displaystyle f(x)&=int_{0}^{x}f^{'}(t)dt f(0)=int_{0}^{x}left(-dfrac{1}{1 t^2} 1right)dt\&=-int_{0}^{x}sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n}cdot t^{2n}dx x\&=sum_{n=0}^{infty}(-1)^{n 1}cdot dfrac{1}{2n 1}x^{2n 1} x,-1 < x <1end{align*}
所以
displaystyle F(x)=f(x)-x=sum_{n=0}^{infty}dfrac{(-1)^{n 1}}{2n 1}x^{2n 1},-1 < x <1，故
a_{n}=displaystylebegin{cases}0,qquad &n=2k\(-1)^{k 1}dfrac{1}{2k 1},quad &n=2k 1end{cases}
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作者：小熊
