2022-11-23 16:19:59
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极限与连续（4）
基础
设
a_1=4,a_{n 1}=sqrt{1 a_n}，证明：
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n 存在，并求极限。
解：先证明
a_nge 2,a_1=4,a_2=sqrt{2 a_1}=2.44949ge 2，假设
a_kge 2,a_{k 1}=sqrt{1 a_k}=sqrt{2 2}=2ge 2，由数学归纳法得，对任意正整数
n，均有
a_nge 2；下面来证单调性，
a_{n 1}-a_n=sqrt{2 a_n}-a_n=dfrac{2 a_n-a_{n}^{2}}{sqrt{2 a_n} a_n}=dfrac{left( 1 a_n right) left( 2-a_n right)}{sqrt{2 a_n} a_n}
，由之前得
a_nge 2，所以
a_{n 1}-a_nle 0，即
a_n单调递减。由单调有界准则，故极限存在。设
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n=A，则
A=sqrt{A 2}，得
A=2。即
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n=2。
解题思路：一般给出递推数列的极限问题一般就是用单调有界准则去做去做，证明有界可采用放缩法，此题使用数学归纳法比较好，数学归纳先假设，先假设
k项成立，在证明
k 1项也成立。其次是单调性的证明，可用函数证明，这题采用作差法进行证明，再根据已知条件进行判断，得出单调性。极限存在。再利用等式算出极限。
设
a_1>0,a_{n 1}=1-e^{-a_n}left( n=1,2,3... right) ，（1）证明：
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n存在，并求极限；（2）求
underset{nrightarrow infty}{lim}dfrac{a_{n 1}-a_n}{a_{n}^{2}}.
解：（1）先证明有界性，
a_1>0,a_2=1-e^{-a_1} > b0，假设
a_k > 0,a_{k 1}=1-e^{-a_k} > 0，由数学归纳法，对任意
n，均有
a_n > 0；单调性：
a_{n 1}=1-e^{-a_n}=e^0-e^{-a_n}=e^{xi}a_nleft( -a_n < xi < 0 right)
，
e^{xi} < 0所以a_{n 1}<a_n，即
{ a_n } 单调递减，
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n存在。设
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n=A,A=1-e^{-A}，解得
A=0，
underset{nrightarrow infty}{lim}a_n=0。
（2）
displaystyle underset{nrightarrow infty}{lim}frac{a_{n 1}-a_n}{a_{n}^{2}}=underset{nrightarrow infty}{lim}frac{1-e^{-a_n}-a_n}{a_{n}^{2}}left( a_n=t,trightarrow 0 right)=underset{trightarrow 0}{lim}frac{1-e^{-t}-t}{t^2}=underset{trightarrow 0}{lim}frac{e^{-t}-1}{2t}=-frac{1}{2}
，故原式
underset{nrightarrow infty}{lim}dfrac{a_{n 1}-a_n}{a_{n}^{2}}=-dfrac{1}{2}.
解题思路：第一问跟上面那题有点相似，首先有界，仍然用的是数学归纳法，而单调性是用拉格朗日中值定理来证明（这里要注意小技巧）。第二问用第一问的条件，将
a_n的问题转化成为
t趋近0的求极限问题，采用洛必达法则（或者采用泰勒公式），算出极限。
提高
设函数
fleft( x right)可导且
0le f^{'}left( x right) le dfrac{k}{1 x^2}left( k > 0 right) ，对任意的
x_n，作
x_{n 1}=fleft( x_n right) left( n=0,1,2... right) ，证明：
underset{nrightarrow infty}{lim}x_n存在且满足方程
fleft( x right) =x.
解：
x_{n 1}-x_n=fleft( x_n right) -fleft( x_{n-1} right) =f^{'}left( xi right) left( x_n-x_{n-1} right) left( x_n-x_{n-1} right)
， 而
x_{n 1}-x_n与
x_n-x_{n-1}同号，故
{ x_n } 单调。
begin{align*}displaystyle |x_n|&=|fleft( x_{n-1} right) |=|fleft( x_1 right) int_{x_1}^{x_{n-1}}{f^{'}left( x right) dx|}\&le |fleft( x_1 right) | |int_{x_1}^{x_{n-1}}{f^{'}left( x right) dx|le}|fleft( x_1 right) | int_{-infty}^{ infty}{frac{k}{1 x^2}}dx=|fleft( x_1 right) | kpiend{align*}
即}
{ x_n }有界，
underset{nrightarrow infty}{lim}x存在。根据连续可导，知道
fleft( x right)连续，由等式
x_{n 1}=fleft( x_n right) ，对两边取
nrightarrow infty ，即
underset{nrightarrow infty}{lim}x_n=fleft( underset{nrightarrow infty}{lim}x_n right) ，即得证。
解题思路：首先想到单调性，要用到作差，然后出现类似于拉格朗日中值定理，同号（单调性证明）。后面证明有界，先去构造
x_n与
fleft( x_{n-1} right) 的关系，进行放缩，用到
fleft( x right) 的式子进行积分，得到有界。后面直接连续性得出结果即可。
作者：小熊
