考研（大学）数学 导数与微分（5）

2022-11-23 16:24:23 浏览数 (6)

导数与微分（5）

基础

设

fleft( x right)

在

left[ a,b right]

上连续，在

left( a,b right)

内可导，且

fleft( a right) =fleft( b right) =0

，证明： （1）存在

xi in left( a,b right)

，使得

f^{'}left( xi right) =2xi fleft( xi right)

；（2）存在

eta in left( a,b right)

，使得

eta f^{'}left( eta right) fleft( eta right) =0

.

解：

（1）令

varphi left( x right) =e^{-x^2}fleft( x right)

，

varphi^{'}left( x right) =-2xe^{-x^2}fleft( x right) e^{-x^2}fleft( x right)

，

e^{-x^2}ne 0

，由于

fleft( a right) =fleft( b right) =0

，所以得到

varphi left( a right) =varphi left( b right) =0

，由罗尔定理得到，存在

xi in left( a,b right)

内，使得

varphi ^{'}left( xi right) =0

，即得证

f^{'}left( xi right) =2xi fleft( xi right)

；

（2）令

Gleft( x right) =xfleft( x right)

，

G^{'}left( x right) =fleft( x right) xf^{'}left( x right)

，

Gleft( a right) =Gleft( b right)

,text{所以由罗尔定理，存在一点

eta in left( a,b right)

，使得

G^{'}left( x right) =0

，则有

eta f^{'}left( eta right) fleft( eta right) =0

.

解题思路：对于这种问题，一般就是直接考虑函数的构造问题，对于这两问都可以采用还原法来找原函数，

gleft( x right) fleft( x right) f^{'}left( x right) =0

，将

fleft( x right)

集中到一边，即得到

ln e^{gleft( x right)} ln fleft( x right)

故原函数就可以得到

Mleft( x right) =e^{gleft( x right)}fleft( x right)

，只是将不同的

gleft( x right)

进行代换。

设

fleft( x right)

在

left[ 0,1 right]

上连续，证明：存在

xi in left( 0,1 right)

内，使得

displaystyle int_0^{xi}{fleft( t right) dt }left( xi -1 right) fleft( xi right) =0

.

解：将题目中的

xi

换成

x

进行代换，整理得

displaystyle int_0^x{fleft( t right) dt xfleft( x right)}-fleft( x right) =0

，即还原得

displaystyle left( xint_0^x{fleft( t right) dt-int_0^x{fleft( t right) dt}} right) ^{'}=0

，

displaystyle Gleft( x right) =xint_0^x{fleft( t right) dt-int_0^x{fleft( t right) dt}}

，

Gleft( 0 right) =0

，

Gleft( 1 right) =0

，由罗尔定理得存在一点

xi in left( 0,1 right)

内，使得

G^{'}left( xi right) =0

，即得

displaystyle int_0^{xi}{fleft( t right) dt }left( xi -1 right) fleft( xi right) =0

。

解题思路：首先对函数进行处理，注意一般将要求的式子进行换元，然后进行还原，注意变限积分的式子的处理，求导的过称注意代换，后面就是找罗尔定理的条件即可得出结果。

提高

当

x > 0

时，证明：

dfrac{arctan x}{ln left( 1 x right)}le dfrac{sqrt{2} 1}{2}

.

解：用中值定理做的话比较简单，

Gleft( x right) =arctan x

，

gleft( x right) =ln left( 1 x right)

，注意

Gleft( 0 right) =0

，

gleft( 0 right) =0

，由柯西中值定理，存在

xi in left( 0,x right)

内，使得

dfrac{arctan x}{ln left( 1 x right)}=dfrac{Gleft( x right) -Gleft( 0 right)}{gleft( x right) -gleft( 0 right)}=dfrac{G^{'}left( xi right)}{g^{'}left( xi right)}=dfrac{1 xi}{1 xi ^2}

，令

varphi left( x right) =dfrac{1 x}{1 x^2}

，

varphi ^{'}left( x right) =dfrac{1-2x-x^2}{left( 1 x^2 right) ^2}=0

，得

x=sqrt{2}-1

，当

xin left( 0,sqrt{2}-1 right)

，

varphi ^{'}left( x right) > 0

，反之在

xin left( sqrt{2}-1, infty right)

，

varphi ^{'}left( x right) < 0

。故

varphi left( x right) _{max}=varphi left( sqrt{2}-1 right) =dfrac{sqrt{2} 1}{2}

。即得证。本题还可以构造函数，直接用单调性直接证明大小。

解题思路：首先看证明的式子，左边是函数带有参数进行处理的话，右边是一个具体的值。想到的是柯西中值定理的应用，然后找其中值定理的条件，后面得到一个关系式子之后，实质就是求函数的最大值，故对函数进行求导然后就是函数单调性的应用，先找到函数的驻点，然后利用第二极值判断条件，得到函数的最大值，后面直接代换就证明结果。

作者：小熊

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