2022-11-23 16:35:55
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专题一 函数与极限 (1)
1.2 竞赛题精彩讲解
1.2.1 函数的表达式
例1.1 （江苏省2004年数学竞赛）
已知函数
f(x)是周期为
pi的奇函数，且当
xin(0,dfrac{pi}{2})时
f(x)=sin x-cos x 2，则当
xin(dfrac{pi}{2},pi)时，求
f(x)的表达式。
解析：由于
f(x)是奇函数，当
xin(dfrac{pi}{2},0)时
displaystyle begin{align*}f(x)=-f(-x)=-(sin(-x)-cos(-x) 2) =sin x cos x 2end{align*}
f(x)是周期为
pi的函数，所以当
xin(dfrac{pi}{2},pi) 时，
begin{align*}f(x)=f(pi-x)=sin(x-pi) cos(x-pi)-2 =sin x-cos x-2end{align*}例1.2 （江苏省1991年竞赛题）
求函数
y=sin x|sin x|其中
|x|leqdfrac{pi}{2})的反函数
解析 当
0leq xleqfrac{pi}{2},即
sin x=sqrt{y}(0leq x leq1),所以
x=arcsinsqrt{y}(0leq x leq1)；同理当
-dfrac{pi}{2}leq x leq 0，
y=-sin^2x(-1leq x leq1)，所以
sin^2x=-y，
sin x=-sqrt{-y}，
x=arcsin(-(sqrt{-y})) 求得反函数
当
0leq xleq 1 时
y=arcsinsqrt{x}；当
-1leq x leq 0，
y=-arcsinsqrt{-x}这个习题来源陈仲老师编的大学生数学竞赛习题，讲得很详细，个人感觉很不错！习题的方法都很基础，但是练的都是基本功，希望大家好好学学！
作者：小熊
