2022-11-23 16:39:02
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专题一 函数与极限 (4)
1.2 竞赛习题精彩讲解
1.2.4 利用两个重要极限求极限
例1.15 （莫斯科财政金融学院1977年竞赛题）
求
displaystyleunderset{nrightarrow infty}{lim}(cosfrac{x}{2}cosfrac{x}{4}cdot cosfrac{x}{2^n}).
解 ：可以令要求的式子为
displaystyle x_{n}=cosfrac{x}{2}cosfrac{x}{4}dotsb cosfrac{x}{2^n}
，根据二倍角公式,可得
displaystylesindfrac{x}{2^n}x_{n}=dfrac{1}{2^n}sin x，所以可以得
displaystyle begin{align*}underset{nrightarrow infty}{lim}x_{n}=underset{n rightarrowinfty}{lim}dfrac{sin x}{x}cdotdfrac{dfrac{x}{2^n}}{sindfrac{x}{2^n}}=underset{n rightarrow infty}{lim}frac{sin x}{x}=1end{align*}
例1.16 （浙江省2010数学竞赛题）
求极限
displaystyle underset{nrightarrowinfty}{lim}[sqrt{n}(sqrt{n 1})-sqrt{n}) dfrac{1}{2}]^{dfrac{sqrt{n 1} sqrt{n}}{sqrt{n 1}-sqrt{n}}}
.
解 ：首先底数进行处理
displaystylesqrt{n}(sqrt{n 1}-sqrt{n}) frac{1}{2}=frac{sqrt{n}}{sqrt{n 1} sqrt{n}} frac{1}{2}=1 frac{sqrt{n}-sqrt{n 1}}{2(sqrt{n 1}-sqrt{n})}
，则根据重要极限，知道
displaystyleunderset{n rightarrow infty}{lim}frac{sqrt{n}-sqrt{n 1}}{2(sqrt{n 1} sqrt{n})}=underset{n rightarrow infty}{lim}dfrac{1-sqrt{1 dfrac{1}{n}}}{2(sqrt{1 dfrac{1}{n}} 1)}=dfrac{0}{4}=0，应用
e的重要极限，
原式
displaystyle=underset{nrightarrowinfty}{lim}[1 frac{sqrt{n}-sqrt{n 1}}{2(sqrt{n 1} sqrt{n})}]^{dfrac{2(sqrt{n 1}-sqrt{n})}{sqrt{n}-sqrt{n 1}}cdot(-dfrac{1}{2})}=e^{-dfrac{1}{2}}例1.17 （南京大学1996年竞赛题）
设函数
f(x)在
x=a可导，且有
f(a)neq 0，则
displaystyleunderset{nrightarrow infty}{lim}left[frac{f(a frac{1}{n})}{f(a)}right]^{n}.
解 ：同理想到构造
e的重要极限，令
x_{n}=dfrac{f(a dfrac{1}{n})-f(a)}{f(a)}，显然
underset{nrightarrow infty}{lim}x_{n}=0，则
原式
displaystylebegin {align*}&=underset{nrightarrow infty}{lim}(1 x_{n})^{dfrac{1}{x_{n}}cdotdfrac{f(1 dfrac{1}{n})-f(n)}{f(a)cdotdfrac{1}{n}}} &=exp[underset{nrightarrow infty}{lim}frac{1}{f(a)}cdotfrac{f(1 dfrac{1}{n})}{dfrac{1}{n}}] &=exp[frac{f(a)^{'}}{f(a)}]end{align*}例1.18 （全国大学生数学竞赛决赛題）
计算
underset{xrightarrow 0^{ }}{lim}ln(xln a)lnleft[dfrac{ln(ax)}{ln(dfrac{a}{x})}right](a>1).
解 :
displaystylebegin{align*}underset{xrightarrow 0^{ }}{lim}lnleft(1 dfrac{2ln a}{ln x-ln a}right)^{ln(xln a)}&=ln(underset{xrightarrow0^{ }}{lim}(1 dfrac{2ln a}{ln x-ln a})^{dfrac{ln x-ln a}{2ln a}cdotdfrac{ln x-lnln a}{ln x-ln a}cdot2ln a}\&=lnexpleft[underset{xrightarrow 0^ }{lim}dfrac{1 dfrac{1}{ln x}lnln a}{1-dfrac{1}{ln x}ln a}2ln aright]=2ln a
end{align*}有问题的可以找小编。这几个题比较简单，主要就是重要极限的构造问题，希望大家好好体会。
作者：小熊
