Python解决高等数学问题

2022-11-27 13:43:37 浏览数 (1)

使用Python中的Sympy库解决高等数学中极限、导数、偏导数、定积分、不定积分、双重积分等问题

Sympy是一个Python的科学计算库，它旨在成为功能齐全的计算机代数系统。 SymPy 包括从基本符号算术到微积分，代数，离散数学和量子物理学的功能。 它可以在 LaTeX 中显示结果。

Sympy官网

文章目录

  • 1. 实用技巧
    • 1.1 符号函数
    • 1.2 展开表达式expand
    • 1.3 泰勒展开公式series
    • 1.4 符号展开
  • 2. 求极限limit
  • 3. 求导diff
    • 3.1 一元函数
    • 3.2 多元函数
  • 4. 积分integrate
    • 4.1 定积分
    • 4.2 不定积分
    • 4.3 双重积分
  • 5. 求解方程组solve
  • 6. 计算求和式summation

看到这图，是不是感觉快喘不过气了呢。Python来帮你解决。

代码语言：javascript复制
from sympy import *
import sympy

输入“x= symbols(“x”)”命令定义一个符号

代码语言：javascript复制
x = Symbol("x")
y = Symbol("y")

1. 实用技巧

1.1 符号函数

sympy提供了很多数学符号，总结如下

  • 虚数单位
代码语言：javascript复制
sympy.I
  • 自然对数
代码语言：javascript复制
sympy.E
  • 无穷大
代码语言：javascript复制
sympy.oo
  • 圆周率
代码语言：javascript复制
 sympy.pi
  • 求n次方根
代码语言：javascript复制
 sympy.root(8,3)
  • 取对数
代码语言：javascript复制
sympy.log(1024,2)
  • 求阶乘
代码语言：javascript复制
sympy.factorial(4)
  • 三角函数
代码语言：javascript复制
sympy.sin(sympy.pi)
sympy.tan(sympy.pi/4)
sympy.cos(sympy.pi/2)

1.2 展开表达式expand

代码语言：javascript复制
f = (1 x)**3
expand(f)
displaystyle x^{3} 3 x^{2} 3 x 1

1.3 泰勒展开公式series

代码语言：javascript复制
ln(1 x).series(x,0,4)
displaystyle x - frac{x^{2}}{2} frac{x^{3}}{3} Oleft(x^{4}right)
代码语言：javascript复制
sin(x).series(x,0,8)
displaystyle x - frac{x^{3}}{6} frac{x^{5}}{120} - frac{x^{7}}{5040} Oleft(x^{8}right)
代码语言：javascript复制
cos(x).series(x,0,9)
displaystyle 1 - frac{x^{2}}{2} frac{x^{4}}{24} - frac{x^{6}}{720} frac{x^{8}}{40320} Oleft(x^{9}right)
代码语言：javascript复制
(1/(1 x)).series(x,0,5)
displaystyle 1 - x x^{2} - x^{3} x^{4} Oleft(x^{5}right)
代码语言：javascript复制
tan(x).series(x,0,4)
displaystyle x frac{x^{3}}{3} Oleft(x^{4}right)
代码语言：javascript复制
(1/(1-x)).series(x,0,4)
displaystyle 1 x x^{2} x^{3} Oleft(x^{4}right)
代码语言：javascript复制
(1/(1 x)).series(x,0,4)
displaystyle 1 - x x^{2} - x^{3} Oleft(x^{4}right)

1.4 符号展开

代码语言：javascript复制
a = Symbol("a")
b = Symbol("b")
#simplify( )普通的化简
simplify((x**3   x**2 - x - 1)/(x**2   2*x   1))
#trigsimp( )三角化简
trigsimp(sin(x)/cos(x))
#powsimp( )指数化简
powsimp(x**a*x**b)
displaystyle x^{a b}

2. 求极限limit

代码语言：javascript复制
limit(sin(x)/x,x,0)
displaystyle 1
代码语言：javascript复制
f2=(1 x)**(1/x)
代码语言：javascript复制
f2
displaystyle left(x 1right)^{frac{1}{x}}

重要极限

代码语言：javascript复制
f1=sin(x)/x
f2=(1 x)**(1/x)
f3=(1 1/x)**x
lim1=limit(f1,x,0)
lim2=limit(f2,x,0)
lim3=limit(f3,x,oo)
print(lim1,lim2,lim3)
代码语言：javascript复制
1 E E

dir可以表示极限的趋近方向

代码语言：javascript复制
f4 = (1 exp(1/x))
f4
displaystyle e^{frac{1}{x}} 1
代码语言：javascript复制
lim4 = limit(f4,x,0,dir="-")
lim4
displaystyle 1
代码语言：javascript复制
lim5 = limit(f4,x,0,dir=" ")
lim5
displaystyle infty

3. 求导diff

diff(函数,自变量,求导次数)

3.1 一元函数

求导问题

代码语言：javascript复制
diff(sin(2*x),x)
displaystyle 2 cos{left(2 x right)}
代码语言：javascript复制
diff(ln(x),x)
displaystyle frac{1}{x}

3.2 多元函数

求偏导问题 例如求解该函数对x的偏导和对y的偏导

displaystyle left(x_{1} x_{2} 6right)^{2} left(- x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} 2right)^{2}

f关于x的偏导数,y是常量

代码语言：javascript复制
f = (6 x1 x2)*(6 x1 x2) (2-3*x1-3*x2-x1*x2)*(2-3*x1-3*x2-x1*x2)
fx = diff(f,x1)
displaystyle 2 x_{1} 2 x_{2} left(- 2 x_{2} - 6right) left(- x_{1} x_{2} - 3 x_{1} - 3 x_{2} 2right) 12

如果需要求特定点的值，我们可以通过subs()方法来填入

代码语言：javascript复制
fx.subs({x1: -4, x2: 6})
displaystyle -344

4. 积分integrate

4.1 定积分

  • 函数的定积分: integrate(函数，(变量，下限，上限))
  • 函数的不定积分: integrate(函数,变量)
代码语言：javascript复制
f = x**2   1
integrate(f,(x,-1.1))
displaystyle -1.54366666666667
代码语言：javascript复制
integrate(exp(x),(x,-oo,0))
displaystyle 1

4.2 不定积分

代码语言：javascript复制
f = 1/(1 x*x)
integrate(f,x)
displaystyle operatorname{atan}{left(x right)}

举例：

代码语言：javascript复制
from sympy import *
x = Symbol('x'); t = Symbol('t')    # 定义两个变量
lmt = limit(
    (integrate(t*cos(t),(t,0,x))-1 cos(x)) / (sqrt(x*tan(x) 1)-sqrt(x*sin(x) 1)), 
    x,
    0)
print(lmt)  # -1/3
代码语言：javascript复制
-1/3

4.3 双重积分

代码语言：javascript复制
f = (4/3)*x   2*y
integrate(f,(x,0,1),(y,-3,4))
displaystyle 11.6666666666667

5. 求解方程组solve

代码语言：javascript复制
#解方程组
#定义变量
f1=x y-3
f2=x-y 5
solve([f1,f2],[x,y])

{x: -1, y: 4}

6. 计算求和式summation

计算求和式可以使用sympy.summation函数，其函数原型为sympy.summation(f, *symbols, **kwargs)

**

代码语言：javascript复制
sympy.summation(2 * n,(n,1,100))

10100

到这里就结束了，如果对你有帮助，欢迎点赞关注评论，你的点赞对我很重要。在此也祝愿大家可以把数学学好

参考:

https://docs.sympy.org/latest/index.html

python 对象存储

0 人点赞