Problem Definition: Portfolio Management

2022-11-29 16:42:17 浏览数 (2)

Problem Definition: Portfolio Management

1 符号定义

  • 资产数量：m；
  • 第
t

个周期的收盘价格向量：

boldsymbol{v}_{t}

，其中

v_{i, t}

为第

i

个资产在

t

个周期的收盘价格；

  • 第
t

个周期的最高价格向量：

boldsymbol{v}_{t}^{(hi)}

；

  • 第
t

个周期的最低价格向量：

boldsymbol{v}_{t}^{(lo)}

；

  • 第
t

个周期开始时的投资组合向量：

boldsymbol{w}_{t-1}

，其中

w_{i, t-1}

是资本重新分配后，第

i

个资产在投资组合中的比例。

Note 1：投资组合中第一个资产表示的是现金，因此，

boldsymbol{v}_{t}

，

boldsymbol{v}_{t}^{(hi)}

和

boldsymbol{v}_{t}^{(lo)}

的第一个元素总是

1

，即

v_{0, t}^{(mathrm{hi})}=v_{0, t}^{(mathrm{lo})}=v_{0, t}=1, forall t

。 Note 2：

boldsymbol{v}_{t}

即表示第

t

个周期的收盘价格向量，同时也是第

t 1

个周期的开盘价格向量。

2 在没有交易成本的情况下

由简入繁，首先考虑没有交易成本的情况下，有

  • 第
t

个周期的 价格相对向量

boldsymbol{y}_{t}

定义为

boldsymbol{v}_{t}

与

boldsymbol{v}_{t-1}

的元素相除：

boldsymbol{y}_{t}:=boldsymbol{v}_{t} oslash boldsymbol{v}_{t-1}=left(1, frac{v_{1, t}}{v_{1, t-1}}, frac{v_{2, t}}{v_{2, t-1}}, ldots, frac{v_{m, t}}{v_{m, t-1}}right)^{top}

价格相对向量可以用于计算一个周期之内的投资组合价值变化。

  • 若
p_{t-1}

为周期

t

开始时的投资组合价值，则在忽略交易成本的情况下，有：

p_{t}=p_{t-1} boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}
  • 周期
t

的 收益率

rho_{t}

为：

rho_{t}:=frac{p_{t}}{p_{t-1}}-1=boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}-1
  • 周期
t

的 对数收益率

r_{t}

为：

r_{t}:=ln frac{p_{t}}{p_{t-1}}=ln boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}
  • 在典型的投资组合管理问题中，初始投资组合向量
boldsymbol{w}_{0}

为欧几里得第一个基向量：

boldsymbol{w}_{0}=(1,0, ldots, 0)^{top}
  • 在没有交易成本的假设下，最终的投资组合价值 为：
p_{mathrm{f}}=p_{0} exp left(sum_{t=1}^{t_{mathrm{f}} 1} r_{t}right)=p_{0} prod_{t=1}^{t_{mathrm{f}} 1} boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}

其中，

p_0

为初始投资金额。投资组合优化的目标就是最大化

p_{mathrm{f}}

。

3 在考虑交易成本的情况下

在实际现实中，在市场上买卖交易需要收取一定的佣金，这些佣金就是交易成本。

假设佣金率恒定，有

  • 周期
t

开始时的投资组合向量为

boldsymbol{w}_{t-1}

，由于存在市场价格波动，因此在周期

t

末，权重演变为：

boldsymbol{w}_{t}^{prime}=frac{boldsymbol{y}_{t} odot boldsymbol{w}_{t-1}}{boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}}

其中，

odot

为元素级乘法。投资组合优化的任务是在周期

t

的结束时刻，通过买卖相关资产，重新分配权重向量（

boldsymbol{w}_{t}^{prime}

变为

boldsymbol{w}_{t}

）。

  • 由于缴纳了交易佣金，因此重新分配后的投资组合价值
p_{t}^{prime}

相比于之前减少A了

mu_t

倍。

mu_t

被称为 交易剩余因子，

mu_{t} in(0,1]

。

p_{t}=mu_{t} p_{t}^{prime}
  • 因此，第二节中的收益率和对数收益率将进行修改：
begin{aligned} &rho_{t}=frac{p_{t}}{p_{t-1}}-1=frac{mu_{t} p_{t}^{prime}}{p_{t-1}}-1=mu_{t} boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}-1, \ &r_{t}=ln frac{p_{t}}{p_{t-1}}=ln left(mu_{t} boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}right) end{aligned}
  • 最终投资组合价值为：
p_{mathrm{f}}=p_{0} exp left(sum_{t=1}^{t_{mathrm{f}} 1} r_{t}right)=p_{0} prod_{t=1}^{t_{mathrm{f}} 1} mu_{t} boldsymbol{y}_{t} cdot boldsymbol{w}_{t-1}

Note 3：第二节与第三节的区别在于，在第三节中由于存在交易佣金，因此

p_{t}^{prime} neq p_{t}

。

  • 在投资组合由
boldsymbol{w}_{t}^{prime}

变为

boldsymbol{w}_{t}

的重新分配的过程中，需要出售部分或者全部的资产

i

。如果

p_{t}^{prime} w_{t, i}^{prime}>p_{t} w_{t, i}

或者

w_{t, i}^{prime}>mu_{t} w_{t, i}

，则 所售出资产后所得的现金总额 为：

left(1-c_{mathrm{s}}right) p_{t}^{prime} sum_{i=1}^{m}left(w_{t, i}^{prime}-mu_{t} w_{t, i}right)^{ }

其中，

c_s

为售出资产的交易费率，

(boldsymbol{v})^{ }=operatorname{ReLu}(boldsymbol{v})

为元素级校正的线性函数，

(x)^{ }=x text { if } x>0,(x)^{ }=0 text { otherwise }

。

  • 售出资产后的所得总金额 和 缩水后的原始资产
mu_{t} p_{t}^{prime} w_{t, 0}

将用于购买新的资产：

left(1-c_{mathrm{p}}right)left[w_{t, 0}^{prime} left(1-c_{mathrm{s}}right) sum_{i=1}^{m}left(w_{t, i}^{prime}-mu_{t} w_{t, i}right)^{ }-mu_{t} w_{t, 0}right]=sum_{i=1}^{m}left(mu_{t} w_{t, i}-w_{t, i}^{prime}right)^{ }

其中，

c_p

为售出资产的交易费率，

p_t^{prime}

在等式两边被消去。

  • 因此，可以计算出交易剩余因子
mu_t

：

mu_{t}=frac{1}{1-c_{mathrm{p}} w_{t, 0}}left[1-c_{mathrm{p}} w_{t, 0}^{prime}-left(c_{mathrm{s}} c_{mathrm{p}}-c_{mathrm{s}} c_{mathrm{p}}right) sum_{i=1}^{m}left(w_{t, i}^{prime}-mu_{t} w_{t, i}right)^{ }right]

上式只能迭代求解，不能解析求解。

Theorem 1 记函数

f(mu):=frac{1}{1-c_{mathrm{p}} w_{t, 0}}left[1-c_{mathrm{p}} w_{t, 0}^{prime}-left(c_{mathrm{s}} c_{mathrm{p}}-c_{mathrm{s}} c_{mathrm{p}}right) sum_{i=1}^{m}left(w_{t, i}^{prime}-mu w_{t, i}right)^{ }right]

序列

left{tilde{mu}_{t}^{(k)}right}

定义为：

left{tilde{mu}_{t}^{(k)} mid tilde{mu}_{t}^{(0)}=mu_{odot} text { and } tilde{mu}_{t}^{(k)}=fleft(tilde{mu}_{t}^{(k-1)}right), k in mathbb{N}_{0}right}

对于任何

mu_{odot} in[0,1]

，该序列收敛至

mu_t

，记上式的解。

上述定理提供了一种将交易剩余因子

mu_t

近似为任意精度的方法。收敛速度取决于初始

mu_0

与

mu_t

的误差，

left|mu_{t}-mu_{odot}right|

越小，则收敛到

mu_t

的速度越快。当

c_p=c_s=c

，Moody 等人将

mu_t

近似为

c sum_{i=1}^{m}left|w_{t, i}^{prime}-w_{t, i}right|

。

4 两个假设

在研究过程中，基本都需要考虑到下述两个假设：

  • 零滑点：所有市场资产的流动性都足够高，因此每笔交易在下订单时都可以立即以最后一个价格进行。
  • 零市场影响：软件交易代理投资的资金微不足道，对市场没有影响。

在现实的交易环境中，如果市场的交易量足够高，这两个假设就接近现实。

Reference

[1] John Moody, Lizhong Wu, Yuansong Liao, and Matthew Saffffell. Performance functions and reinforcement learning for trading systems and portfolios. Journal of Forecasting, 17(56): 441–470, 1998.

[2] Jiang Z , Xu D , Liang J . A Deep Reinforcement Learning Framework for the Financial Portfolio Management Problem[J]. Papers, 2017.

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