线性代数与解析几何——Part3 线性空间 & 线性变换

1. 线性空间

1. 数组空间 & 线性关系

首先，我们给出数组空间的定义如下：

定义5.1.1 数域

上的一个

维数组向量

bold{a}

是一个有序的

元数组

bold{a} = (a_1, a_2, ..., a_n)

其中

a_i in F

，

i=1,2,...,n

，称为向量

bold{a}

的第

个分量。

上的

维数组向量的全体称为

维数组空间，记为

F^{n}

。

对于数组空间当中的一组向量，我们可以定义线性组合如下：

定义5.1.2 给定一组向量

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

及一组数

lambda_1, lambda_2, ..., lambda_m in F

，则称和式

lambda_1 bold{a_1} lambda_2 bold{a_2} ... lambda_m bold{a_m}

为

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的线性组合，

lambda_1, lambda_2, ..., lambda_m

称为组合系数。如果

bold{a}

可以写成

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的线性组合，则称

bold{a}

可以用

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性表示。

基于此，我们可以给出线性相关与线性无关的定义如下：

定义5.2.1 设

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

，

m geq 2

，如果某一个向量能够用其他的向量线性表示，即存在某一个

bold{a}_i

以及一组参数

lambda_j in F(j neq i)

，使得

bold{a}_i = sum_{j neq i} lambda_j bold{a}_j

,则称

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性相关，否则称他们线性无关。

下面，我们给出线性相关的一些常用定理如下：

定理5.2.1 设

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

，则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性相关的充要条件是存在不全为0的常数

lambda_1, lambda_2, ..., lambda_m

，使得

sum_{i=1}^{m} lambda_i bold{a}_i = 0

定理5.2.2 设向量组

S_1 = {bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_k} }

是向量组

S = {bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m }

的一个子集，则如果

S_1

线性相关，那么

必然线性相关；如果

线性无关，则

S_1

也线性无关。

定理5.2.3 设

bold{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}) in F^{n}

，

i=1,2,...,m

。用

bold{A}

表示以

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

为行构成

m times n

阶矩阵。则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性相关当且仅当关于

lambda_1, lambda_2, ..., lambda_m

的齐次线性方程组

bold{A}^{T} begin{pmatrix} lambda_1 \ ... \ lambda_m end{pmatrix} = bold{0}

有非零解，亦当且仅当

rank(bold{A}) < m

。

推论5.2.1 设

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

是一组数组向量，则有：

m > n

，则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

必然线性相关；

m = n

，则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性相关当且仅当

det(bold{A}) = 0

；

m < n

，则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性相关当且仅当矩阵

bold{A}

的所有

阶子式为零；

定理5.2.4 设

bold{a}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{ir}) in F^{r}

，

i=1,2,...,m

。他们的加长向量组为

bold{b}_i = (a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{ir}, ... a_{in}) in F^{n}(n>r)

，

i=1,2,...,m

，则有：

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性无关，则

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_m

也线性无关；

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_m

线性相关，则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

也线性相关；

2. 秩

要考察线性方程组的秩，我们首先需要引入极大无关组的定义。

定义5.3.1 设

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

，若

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}

线性无关，且任意加一个其他的向量

bold{a}_{i_{r 1}}

后

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}, bold{a}_{i_{r 1}}

均线性相关，则称

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}

为

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的极大无关组。

对于极大无关组，我们有定理如下：

定理5.3.1 设

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

为一组列向量，

bold{A} = (bold{a}_1, ..., bold{a}_m)

是以

bold{a}_1, ..., bold{a}_m

为列构成的

n times m

阶矩阵，

bold{A}

经过一系列初等变换变为矩阵

bold{B} = (bold{b}_1, ..., bold{b}_m)

，则：

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性相关（无关）当且仅当

bold{b}_1, ..., bold{b}_m

线性相关（无关）；

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}

为

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的极大无关组，当且仅当

bold{b}_{i_1}, bold{b}_{i_2}, ..., bold{b}_{i_r}

为

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_m

的极大无关组。

在极大无关组的基础上，我们引入向量组的等价的定义：

定义5.3.2 如果向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

中的每一个向量都可以用向量组

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

线性表示，则称向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

可以由向量组

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

线性表示。如果两个向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

和

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

可以相互线性表示，则称这两个向量组等价，记为：

{ bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m } sim { bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l }

很自然的，向量组等价满足性质：

反身性：

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

与它自身等价；

对称性：若

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

与

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

等价，则

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

与

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

等价；

传递性：若

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

与

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

等价，且

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

与

bold{c}_1, bold{c}_2, ..., bold{c}_k

等价，则

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

与

bold{c}_1, bold{c}_2, ..., bold{c}_k

等价。

向量组的等价还具有如下一些定理：

定理5.3.2 一组向量组与它的任何一组极大无关组等价。
推论5.3.1 向量组的任何两个极大无关组彼此等价。
定理5.3.3 若两个线性无关向量组

{ bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r }

与

{ bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_s }

等价，则

r=s

。

推论5.3.2 若

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}

和

bold{a}_{j_1}, bold{a}_{j_2}, ..., bold{a}_{j_s}

分别为

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的两个极大无关组，则

r=s

。

由此，我们可以最终引入向量组的秩的定义：

定义5.3.3 向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的极大无关组元素的个数称之为向量组的秩，记为

rank(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m)

或

r(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m)

。

向量组的秩具有如下性质：

定理5.3.4 设向量

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r in F^{n}

，向量

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_s in F^{n}

，则有：

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r

线性无关当且仅当

rank(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r) = r

；

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r

线性相关当且仅当

rank(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r) < r

；

{ bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_s }

可以用

{ bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r }

线性表示，则

rank(bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_s) leq rank(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r)

;

{ bold{b}_1, bold{b}_2, …, bold{b}_s }

与

{ bold{a}_1, bold{a}_2, …, bold{a}_r }

等价，则

rank(bold{b}_1, bold{b}_2, …, bold{b}_s) = rank(bold{a}_1, bold{a}_2, …, bold{a}_r)$

{ bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_s }

可以用

{ bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r }

线性表示，且

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_s

线性无关，则

s leq r

;

向量

bold{b}

可以表示成

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r

的线性组合，当且仅当

rank(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r) = rank(bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r, bold{b})

;

定理5.3.5 任何矩阵的行秩等于它的列秩等于该矩阵的秩；
推论5.3.3

阶方阵

bold{A}

可逆

Leftrightarrow rank(bold{A}) = n Leftrightarrow

bold{A}

的行（列）向量线性无关。

推论5.3.4 若

rank(bold{A}) = r

，则

bold{A}

的不等于0的

阶子式所在的行（列）构成

bold{A}

的行（列）向量的极大无关组。

3. 子空间、基与维数

要介绍子空间的内容，我们首先引入向量的生成子空间定义：

定义 5.4.1 设

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in F^{n}

是一组向量，称集合

langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle := { sum_{i=1}^{m} lambda_i bold{a}_i | lambda_i in F, i=1,2,..., m }

为向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

生成的

F^{n}

的子空间，

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

称为生成子空间的生成元。给定一个矩阵

bold{A} in F^{m times n}

，由

bold{A}

的行向量生成的子空间称为行空间；由

bold{A}

的列向量生成的子空间称为列空间。

生成子空间具有如下性质：

命题5.4.1 若

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_k in langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle

，则

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_k

的任意线性组合都属于

langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle

。

定理5.4.1 设

bold{a}_i, bold{b}_j, bold{b}

均为

F^{n}

中的向量，其中

i=1,...,m

，

j=1,...,l

。则下列结论成立：

向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

与

bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l

等价，当接近当

langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle = langle bold{b}_1, bold{b}_2, ..., bold{b}_l rangle

；

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m (m geq 2)

线性相关，当且仅当存在

使得

bold{a}_i in langle bold{a}_j | j neq i rangle

，亦即

langle bold{a}_i rangle = langle bold{a}_j | j neq i rangle

;

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

线性无关，当且仅当对任意

均有

bold{a}_i notin langle bold{a}_j | j neq i rangle

，亦即

langle bold{a}_i rangle neq langle bold{a}_j | j neq i rangle

;

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}

是

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m

的极大无关组，当且仅当

langle bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r} rangle = langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle

且

bold{a}_{i_1}, bold{a}_{i_2}, ..., bold{a}_{i_r}

线性无关；

线性方程组

sum_{i}x_ibold{a}_i = bold{b}

有解当且仅当

bold{b} in langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle

，当且仅当

langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m rangle = langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m, bold{b} rangle

在生成子空间的基础上，我们给出子空间的两种定义：

定义5.4.2 设

V subset F^{n}

为非空向量集合，它满足：对任意

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_m in V

，

lambda_1, ..., lambda_m in F

，都有

sum_{i=1}^{m} in V

，则称

为

F^{n}

的子空间。

定义5.4.3 设

V subset F^{n}

为非空向量集合，它满足：

bold{a,b} in V

，则

bold{a b} in V

；

bold{a} in V

，

lambda in F

，则

lambda bold{a} in V

;

则称

为

F^n

的子空间。

对于任意一个子空间，我们有如下定理：

定理5.4.2 设非空集合

是

F^n

的子空间，则存在线性无关的向量组

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r

，使得

V = langle bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r rangle

亦即任意子空间总可以表示为一些线性无关的向量的生成子空间。

因此，我们就给可以给出子空间的基的定义：

定义5.4.4 设

V subset F^n

是子空间，

中的一组向量

{ bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r }

称为

的一组基，如果其满足：

对任意向量

bold{a} in V

，

bold{a}

可以唯一地表示为

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r

的线性组合：

bold{a} = sum_{i=1}^{r} lambda_i bold{a_i}

bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r

线性无关。

称

(lambda_1, ... lambda_r)

为向量

bold{a}

在基

{ bold{a}_1, bold{a}_2, ..., bold{a}_r }

下的坐标。

的一组基的向量个数称为

的维数，记作

dimV

。

我们有定理：

定理5.4.3

为数组空间

F^n

中的下列结论成立：

V subset F^n

为

维子空间，则

中任意

r 1

个向量线性相关；

为

维子空间，则

中任意

个线性无关向量为

的一组基；

与

为

F^n

的子空间，且

U subseteq V

，则

dimU leq dimV

；

与

为

F^n

的子空间，且

U subseteq V

，若

dimU = dimV

，则

U = V

。

4. 一般线性空间

上面，我们介绍了数组向量中的子空间等定义，这里，我们将会介绍一下一般的线性空间，它不局限于数组向量，而是针对一般的集合。

我们给出一般的线性空间的定义如下：

定义5.6.1 设

是一个非空集合，

是一个数域，对

中的元素定义两种运算：

加法：对

中的任意两个元素

bold{alpha, beta}

组成的有序对

(bold{alpha, beta})

，

中存在唯一的一个元素

bold{gamma}

与之相对应，简记为

bold{alpha beta = gamma}

；

数乘：对任意常数

lambda in F

及向量

alpha in V

，

中存在唯一地一个元素

gamma

与之对应，简记为

lambda bold{alpha} = bold{gamma}

。

加法与数乘运算满足下列运算规律：

加法交换律：

bold{alpha beta = beta alpha}

加法结合律：

bold{(alpha beta) gamma = alpha (beta gamma)}

零向量：存在元素

bold{theta} in V

使得

bold{alpha theta = theta alpha = alpha}

对任意

bold{alpha} in V

成立，

bold{theta}

称为零元素，通常简记为

bold{0}

;

对任意

bold{alpha} in V

，存在唯一的

bold{beta} in V

，使得

bold{alpha beta = beta alpha = 0}

，

bold{beta}

称为

bold{alpha}

的负元素，简记为

-bold{alpha}

；

对任意

lambda in F

，

bold{alpha, beta} in V

，

lambda (bold{alpha beta}) = lambda bold{alpha} lambda bold{beta}

;

对任意

lambda, mu in F

，

bold{alpha} in V

，

(lambda mu) bold{alpha} = lambda bold{alpha} mubold{alpha}

;

对任意

lambda, mu in F

，

bold{alpha} in V

，

lambda (mu bold{alpha}) = (lambda mu) bold{alpha}

；

1bold{alpha} = bold{alpha}

对任意

bold{alpha} in V

成立。

则称

是数域

上的线性空间，简记为

V(F)

或

。线性空间

中的元素称为向量。

线性空间具有如下性质：

零向量唯一；
负向量唯一；

0bold{alpha}=bold{0}

;

(-1)bold{alpha} = -bold{alpha}

;

lambda bold{0} = bold{0}

lambda bold{alpha} = bold{0}

当且仅当

bold{alpha} = bold{0}

或者

lambda = 0

;

对于一般的线性空间，我们同样可以给出子空间等定义如下：

定义5.6.2 设

是数域

上的线性空间，给定

中的一组向量

S = { bold{alpha}_1, bold{alpha}_2, ..., bold{alpha}_m }

及一组数

lambda_1, ..., lambda_m in F

，称和式

lambda_1 bold{alpha}_1 ... lambda_m bold{alpha}_m

为向量组

的线性组合，

lambda_1, ..., lambda_m

称为组合系数，如果

bold{alpha}

可以写成

的线性组合，则称

bold{alpha}

可以用

线性表示。向量组

的线性组合的全体

langle S rangle := langle bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m rangle := { lambda_1 bold{alpha}_1 ... lambda_m bold{alpha}_m | lambda_1, ..., lambda_m in F }

称为

的生成子空间，

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m

称为生成子空间的生成元。

定义5.6.3 设

是数域

上的线性空间，称向量组

T = langle bold{beta}_1, ..., bold{beta}_l rangle

可以由向量组

S = langle bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m rangle

线性表示，如果每一个

bold{beta}_i

均可以用向量组

线性表示。如果向量组

和

可以相互线性表示，则称

和

等价。

定理5.6.1 设

和

是线性空间

的两个向量组，则：

可以由

线性表示，当且仅当

langle T rangle subset langle S rangle

;

可以由

线性表示，

可以由

线性表示，则

可以由

线性表示；

与

等价，当且仅当

langle S rangle = langle T rangle

;

与

等价，

与

等价，则

与

等价。

定义5.6.4 设

是数域

上的线性空间，

是

中的一组向量。如果

中的某个向量能用其他向量线性表示，则称

线性相关，反之则称为线性无关。特别的，如果一个向量组成的向量组线性相关，当且仅当该向量为零向量。

定理5.6.2 设

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m (m geq 2)

是线性空间

中的向量，则下列说法等价：

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m

线性相关；

存在不全为零的常数

lambda_1, ..., lambda_m in F

，使得

sum_{i=1}^{m} lambda_i bold{alpha}_i = 0

;

存在向量

bold{alpha}_i

使得

bold{alpha}_i = sum_{j neq i} lambda_j bold{alpha}_j

;

存在向量

bold{alpha}_i

使得

bold{alpha}_i in langle bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_{i-1}, bold{alpha}_{i 1}, ... bold{alpha}_m rangle

;

存在向量

bold{alpha}_i

使得

langle bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m rangle = langle bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_{i-1}, bold{alpha}_{i 1}, ... bold{alpha}_m rangle

;

定理5.6.3 设向量组

S_1

是向量组

的一个自己，那么，如果

S_1

线性相关，则

也线性相关；如果

线性无关，则

S_1

也线性无关。

定义5.6.5 设

是线性空间

中的向量组，若

的子集

S_1

线性无关，且任加

中的一个其他向量

bold{alpha}

后，

S_1 cup langle bold{alpha} rangle

线性相关，则称

S_1

为向量组

的极大无关组。

定理5.6.4 向量组的极大无关组有下列等价的说法：

向量组

的子集

S_1

是

的极大无关组；

向量组

可以由子集

S_1

线性表示，且

S_1

线性无关；

向量组

与它的子集

S_1

等价，且

S_1

线性无关；

langle S rangle = langle S_1 rangle

，且

S_1

线性无关；

推论5.6.1 向量组的任意两个极大无关组彼此等价；
定理5.6.5 两个等价向量组

langle bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_r rangle

和

langle bold{beta}_1, ..., bold{beta}_s rangle

分别线性无关，则

r=s

。

推论5.6.2 设

bold{alpha}_{i_1}, ..., bold{alpha}_{i_r}

和

bold{alpha}_{j_1}, ..., bold{alpha}_{j_s}

分别是

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_m

的两个极大无关组，则

r=s

。

定义5.6.6 向量组

的极大无关组的向量的个数称为向量组的秩，即为

rank(S)

或者

r(S)

。

定理5.6.6 设

S, T

是线性空间

中的有限向量组，则有如下结论：

线性无关当且仅当

rank(S) = #S

;

线性相关当且仅当

rank(S) < #S

;

可以用

线性表示，则

rank(T) leq rank(S)

;

和

等价，则

rank(T) = rank(S)

;

可以用

线性表示，且

线性无关，则

#T leq #S

;

定义5.6.7 设

是数域

上的线性空间，

是

中一组线性无关向量。如果

中任何向量都能表示成

的线性组合，则称

是

的一组基。若

是有限的，则称

为有限维线性空间，

中的元素的个数称为线性空间

的维数，记为

dimV

。若

是无限的，则称

为无限维线性空间，其维数为无穷大。设基为

S = { bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n }

是有限的，则任意向量

bold{alpha} in V

可以唯一地表示为

的线性组合

bold{alpha} = lambda_1 bold{alpha}_1 ... lambda_n bold{alpha}_n

称

(lambda_1, ..., lambda_n)

为向量

bold{alpha}

在基

下的坐标。

定理5.6.7 设

是数域

上的

维线性空间，则有：

中任意

n 1

个向量线性相关；

中任意

个线性无关向量为一组基；

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_r in V

是

r(r<n)

个线性无关的向量，则存在

中的向量

bold{alpha}_{r 1}, ..., bold{alpha}_n

使得

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

构成

中的一组基，称

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

为线性无关组

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_r

的一组扩充基。

5. 同构

最后，我们来稍微引入了一下线性空间的同构定义。

定义5.7.1 设

V_1, V_2

是数域

上的两个线性空间，如果存在一一映射

sigma : V_1 rightarrow V_2

满足：

对任意

bold{x,y} in V_1

sigma(bold{x y}) = sigma(bold{x}) sigma(bold{y})

;

对任意

lambda in F

bold{x} in V_1

，

sigma(lambda bold{x}) = lambda sigma(bold{x})

则称线性空间

V_1, V_2

同构，记为

V_1 sim V_2

，

sigma

称为同构映射。当

V_1 = V_2

时，称

sigma

为自同构。

对于同构，有如下定理：

定理5.7.1 设

V_1, V_2, V_3

是数域

上的线性空间，则有：

dimV_1 = n

，则

V_1

与

维数组空间

F^n

同构；

sigma

是

V_1 rightarrow V_2

的同构映射，则

sigma^{-1}

是

V_2 rightarrow V_1

的同构映射；

V_1

与

V_2

同构，

V_2

与

V_3

同构，则

V_1

与

V_3

同构。

定理5.7.2 设

V_1, V_2

是数域

上的线性空间，

sigma: V_1 rightarrow V_2

是同构映射，则：

sigma(bold{0}_1) = bold{0}_2

，其中，

bold{0}_1, bold{0}_2

分别是

V_1, V_2

的零元素；

sigma(-bold{alpha}) = -sigma(bold{alpha})

;

sigma(sum_{i=1}^{m} lambda_i bold{alpha}_i) = sum_{i=1}^{m}lambda_i sigma(bold{alpha}_i)

;

V_1

中向量组

线性无关（相关）当且仅当

sigma(S)

在

V_2

当中线性无关（相关）;

是

V_1

的基当且仅当

sigma(M)

是

V_2

的基；

dimV_1 = dimV_2

。

定理5.7.3 数域

上的线性空间

V_1

与

V_2

同构的充要条件是

dimV_1 = dimV_2

。

2. 线性变换

1. 定义 & 性质

定义6.1.1 设

V, V_1

是数域

上的两个线性空间，若映射

mathcal{A}: V rightarrow V'

满足：对任意

bold{x, y} in V, lambda in F

，都有：

mathcal{A}(bold{x y}) = mathcal{A}(bold{x}) mathcal{A}(bold{y})

mathcal{A}(lambda bold{x}) = lambda mathcal{A}(bold{x})

则称

mathcal{A}

为从线性空间

到线性空间

的线性映射。特别的，如果

V = V'

，则称

mathcal{A}

为线性空间

上的一个线性变化。

有性质：

定理6.1.1 设

是数域

上的线性空间，

mathcal{A}

是

上的线性变换，

mathcal{A}

具有以下性质：

mathcal{A}(bold{0}) = bold{0}

;

mathcal{A}(-bold{a}) = - mathcal{bold{a}}, bold{a} in V

;

bold{a}_1, ... bold{a}_n

为线性空间

的一组基，若

bold{a} = lambda_1 bold{a}_1 ... lambda_n bold{a}_n

，则

mathcal{A}(bold{a}) = lambda_1 mathcal{A}(bold{a}_1) ... lambda_n mathcal{A}(bold{a}_n)

;

bold{a}_1, ... bold{a}_m

是

中线性相关的向量，则

mathcal{A}(bold{a}_1), ..., mathcal{A}(bold{a}_m)

也线性相关。

2. 矩阵表达

线性变换本质上可以视为线性空间上的两组向量之间的变化关系，我们可以将其放到两组基当中进行表达，即可以将其视为两个基底之间的线性变换。

mathcal{A}{bold{(alpha_1, ..., alpha_n)}} = bold{(alpha_1, ..., alpha_n)} begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \ ... & ... & ... & ... \ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} end{pmatrix}

因此，我们可以将矩阵

bold{A} = (a_{ij})

称为线性变换

mathcal{A}

在基

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

下的变换矩阵。

我们有定理：

定理6.2.1 设线性变换

mathcal{A}: V rightarrow V

在基

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

下的矩阵为

bold{A}

，设

bold{x, y} in V

，且

bold{y} = mathcal{A}(bold{x})

，若

bold{x, y}

在基

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

下的坐标分别为

bold{X, Y}

，则：

bold{Y} = bold{AX}

我们将数域

上的

维线性空间

上的全体线性变换所构成的集合记为

bold{L}(V)

，将数域

上的

阶方阵的构成的集合记为

bold{M}_n(F)

，则有：

定理6.2.2 设

为数域

上的

维线性空间，

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

为

的一组基。则存在一一映射

Phi:bold{L}(V) rightarrow bold{M}_n(F)

，使得对每个

mathcal{A} in bold{L}(V)

，

Phi(mathcal{A})

为

mathcal{A}

在基

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

下的矩阵。

我们定义线性变换的运算：

mathcal{A B}(bold{x}) = mathcal{A}(bold{x}) mathcal{A}(bold{y})

(lambda mathcal{A})(bold{x}) = lambda mathcal{A}(bold{x})

(mathcal{B} circ mathcal{A})(bold{x}) = mathcal{B}(mathcal{A}(bold{x}))

我们有定理：

定理6.2.3 设

Phi: bold{L}(V) rightarrow bold{M}_n(F)

为前述定理6.2.2中定义的映射，则对

mathcal{A,B} in bold{L}(V), lambda in F

，有：

Phi(mathcal{A B}) = Phi(mathcal{A}) Phi(mathcal{B})

Phi(lambda mathcal{A}) = lambda Phi(mathcal{A})

Phi(mathcal{B} circ mathcal{A}) = Phi(mathcal{B}) cdot Phi(mathcal{A})

3. 矩阵的相似

定理 6.3.1 设线性变换

mathcal{A}: V rightarrow V

在

的两组基

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

和

bold{beta}_1, ..., bold{beta}_n

的矩阵分别为

bold{A}

和

bold{B}

。设基

bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n

到基

bold{beta}_1, ..., bold{beta}_n

的过渡矩阵为

，即

(bold{beta}_1, ..., bold{beta}_n) = (bold{alpha}_1, ..., bold{alpha}_n)bold{T}

，则有：

bold{B} = bold{T^{-1}AT}

基于此，我们可以给出矩阵的相似定义：

定义6.3.1 设

bold{A, B}

为数域

上的两个

阶方阵，如果存在数域

上的

阶可逆方阵

bold{T}

，使得

bold{B} = bold{T^{-1}AT}

，则称

bold{A}

和

bold{B}

在数域

上相似，记为

bold{A} sim bold{B}

。

对于相似的矩阵，有如下命题：

命题6.3.1 矩阵的相似关系为等价关系，即满足以下三个条件：

反身性：

bold{A}

与

bold{A}

相似；

对称性：若

bold{A}

与

bold{B}

相似，则

bold{B}

与

bold{A}

相似；

传递性：若

bold{A}

与

bold{B}

相似，

bold{B}

与

bold{C}

相似，则

bold{A}

与

bold{C}

相似。

4. 特征值 & 特征向量

定义 6.4.1 设

bold{A}

为数域

上的

阶方阵，如果存在

lambda in F

及非零列向量

bold{x} in F^{n}

，使得

bold{Ax} = lambda bold{x}

，则称

lambda

为方阵

bold{A}

的一个特征值，而称

为属于特征值

lambda

的一个特征向量。定义

V_{mathcal{A}}(lambda) := { bold{alpha} in V | mathcal{A}bold{alpha} = lambda bold{alpha}}

为特征值

lambda

的特征子空间。

对于矩阵

bold{A}

，定义矩阵

bold{A}

的特征多项式

p_{bold{A}}(lambda)

为：

det(lambda bold{I} - bold{A}) = begin{vmatrix} lambda - a_{11} & -a_{12} & ... & -a_{1n} \ -a_{21} & lambda - a_{22} & ... & -a_{2n} \ ... & ... & ... & ... \ -a_{n1} & -a_{n2} & ... & lambda - a_{nn} end{vmatrix} = 0

关于特征向量，我们有一些常用的性质：

若

lambda

是

阶方阵

bold{A}

的一个特征值，则有：

lambda^k

是

bold{A}^k

的特征值，其中

为正整数；

lambda

为

bold{A}^{T}

的特征值；

lambda neq 0

，则

frac{1}{lambda}det(bold{A})

是

bold{A}

的伴随方阵

bold{A}^{*}

的特征值；

若方阵

bold{A}

为实方阵且满足

bold{AA^{T}} = bold{I}

，则

|lambda| = 1

；

命题6.4.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式和特征值。
命题6.4.2 设

bold{A} = (a_{ij})

为

bold{C}

上的一个

阶方阵，

lambda_1, ..., lambda_n

为

bold{A}

的

个特征值，则有：

tr(bold{A}) = sum_{i=1}^{n} lambda_{i}

det(bold{A}) = Pi_{i=1}^{n} lambda_{i}

推论6.4.1

阶方阵可逆当且仅当它的

个特征值均不为零。

5. 相似对角化

引理6.5.1 设

bold{A}

是属于

上的

阶方阵，则属于

bold{A}

的不同特征值的特征向量是线性无关的。

定理6.5.1 数域

上的

阶方阵

bold{A}

相似于对角矩阵的充要条件是

bold{A}

有

个线性无关的特征向量。

推论6.5.1 如果矩阵

bold{A}

的

个特征值两两不同，则

bold{A}

相似于对角矩阵。

定理6.5.3 任何一个

阶复方阵

bold{A}

都可以相似于一个上三角矩阵，且这个上三角矩阵的主对角线上的元素都是

bold{A}

的特征值。

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