19.Algorithm Gossip: 完美数
说明
如果有一数n，其真因数（Proper factor）的总和等于n，则称之为完美数（Perfect Number）， 例如以下几个数都是完美数： 6 = 1 2 3 28 = 1 2 4 7 14 496 = 1 2 4 8 16 31 62 124 248
程式基本上不难，第一眼看到时会想到使用回圈求出所有真因数，再进一步求因数和，不过若n 值很大，则此法会花费许多时间在回圈测试上，十分没有效率，例如求小于10000的所有完美数 。
解法
如何求小于10000的所有完美数？并将程式写的有效率？基本上有三个步骤： 求出一定数目的质数表 利用质数表求指定数的因式分解 利用因式分解求所有真因数和，并检查是否为完美数
步骤一 与 步骤二 在之前讨论过了，问题在步骤三，如何求真因数和？方法很简单，要先知道将所有真因数和加上该数本身，会等于该数的两倍，例如： 2 * 28 = 1 2 4 7 14 28
等式后面可以化为： 2 * 28 = (20 21 22) * (70 71)
所以只要求出因式分解，就可以利用回圈求得等式后面的值，将该值除以2就是真因数和了；等式后面第一眼看时可能想到使用等比级数公式来解，不过会使用到次方运算，可以在回圈走访因式分解阵列时，同时计算出等式后面的值，这在下面的实作中可以看到。
代码示例
代码语言：javascript复制#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define N 1000
#define P 10000
int prime(int*); // 求质数表
int factor(int*, int, int*); // 求factor
int fsum(int*, int); // sum ot proper factor
int main(void) {
int ptable[N 1] = {0}; // 储存质数表
int fact[N 1] = {0}; // 储存因式分解结果
int count1, count2, i; count1 = prime(ptable);
for(i = 0; i <= P; i ) {
count2 = factor(ptable, i, fact); if(i == fsum(fact, count2))
printf("Perfect Number: %dn", i);
}
printf("n");
return 0;
}
int prime(int* pNum) { int i, j;
int prime[N 1];
for(i = 2; i <= N; i ) prime[i] = 1;
for(i = 2; i*i <= N; i ) { if(prime[i] == 1) {
for(j = 2*i; j <= N; j ) { if(j % i == 0)
prime[j] = 0;
}
}
}
for(i = 2, j = 0; i < N; i ) { if(prime[i] == 1)
pNum[j ] = i;
}
return j;
}
int factor(int* table, int num, int* frecord) { int i, k;
for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) { if(num % table[i] == 0) {
frecord[k] = table[i]; k ;
num /= table[i];
}
else
}
i ;
frecord[k] = num;
return k 1;
}
int fsum(int* farr, int c) { int i, r, s, q;
i = 0;
r = 1;
s = 1;
q = 1;
while(i < c) { do {
r *= farr[i]; q = r; i ;
} while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]); s *= q;
r = 1;
q = 1;
}
return s / 2;
}
