分解商业周期时间序列：线性滤波器、HP滤波器、Baxter滤波器、Beveridge Nelson分解等去趋势法|附代码数据

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最近我们被客户要求撰写关于商业周期分解的研究报告，包括一些图形和统计输出。本文包含各种过滤器，可用于分解南非GDP的方法。我们做的第一件事是清除当前环境中的所有变量。这可以通过以下命令进行

分解南非GDP数据

本文包含各种过滤器，可用于分解南非GDP的方法。我们做的第一件事是清除当前环境中的所有变量。这可以通过以下命令进行。

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rm(list = ls())
graphics.off()

载入数据

如前所述，南非的GDP数据将其作为时间序列存储在gdp中，我们执行以下命令。

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gdp <- ts(dat.tmp, start = c(1960, 2), frequency = 4)

为了确保这些计算和提取的结果是正确的，我们检查一下数据的图表。

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plot(gdp)

线性滤波器_去除数据线性趋势_

为了估计一个线性趋势，我们可以利用一个包括时间趋势和常数的线性回归模型。为了估计这样一个模型，我们使用lm命令，如下。

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lin.mod$fitted.values  # 拟合值与时间趋势有关
ts(lin.trend, start = c(1960, 1))  # 为趋势创建一个时间序列变量
gdp - linear  # 周期是数据和线性趋势之间的差异

回归的拟合值包含与线性趋势有关的信息。这些信息需要从模型对象lin.mod中提取，在上面的块中，我们将这些值分配给时间序列对象linear。然后从数据中剔除趋势，就得到了周期。

然后我们可以借助下面的命令来绘制这个结果，其中趋势和周期被绘制在不同的数字上。

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plot.ts(gdp, ylab = "")  
lines(linear, col = "red")  
legend("topleft", legend = c("data", "trend")

霍德里克 - 普雷斯科特 (Hodrick-Prescott，HP) _滤波器_对数据进行去趋势处理

要用流行的HP滤波法分解这个数据。在这种情况下，我们将lambda的值设置为1600，这也是对季度数据的建议。

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hp(gdp, freq = 1600)
plot.ts(gdp, ylab = "")  # 绘制时间序列
plot.ts(hp.decom$cycle, ylab = "")  # 绘制周期图

这似乎更准确地反映了我们对南非经济表现的理解。

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R语言从经济时间序列中用HP滤波器，小波滤波和经验模态分解等提取周期性成分分析

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用Baxter-King滤波器去趋势数据

为了利用Baxter-King 滤波器。在这种情况下，我们需要指定周期的频带，其上限被设定为32，下限被设定为6。

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bk(gdp, pl = 6, pu = 32)
plot.ts(gdp, ylab = "")
plot.ts(cycle, ylab = "")

这似乎再次为南非经济活动的周期性提供了一个相当准确的表述。还要注意的是，周期的表示比以前提供的要平滑得多，因为噪音不包括在周期中。

Christiano-Fitzgerald滤波器去趋势数据

这个滤波器的性质与上面提供的非常相似。此外，产生与Baxter-King滤波器高度相似的结果。

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plot.ts(gdp, ylab = "")

plot.ts(cfcycle, ylab = "")

用Beveridge-Nelson分解法 "去趋势 "数据 

为了将数据分解为随机趋势和平稳周期，我们可以采用Beveridge-Nelson分解法。当采用这种技术时，我们需要指定与平稳部分有关的滞后期的数量。在我下面的例子中，我假设有八个滞后期。

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plot.ts(gdp, ylab = "")
lines(bn.trend, col = "red")
plot.ts(bn.cycle, ylab = "")

比较周期的不同衡量标准

然后，我们可以将所有这些结果结合在一张图上，考虑各自的相似性和差异。在这个例子中，我创建了一个时间序列ts.union，但是我也可以先绘制一个单一的序列，然后再使用lines命令在上面绘制连续的图。

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 ts.union(lin.cycle, hp.decom, bp.decom, 
    cf.decom, bn.cycle)

plot.ts(comb, ylab = "")

谱分解

在我们考虑使用谱技术之前，最好先清除当前环境中的所有变量，并关闭所有的图。下一步是确保你可以通过使用library命令来访问这些包中的程序。

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library(tsm)
library(TSA)
library(mFilter)

使用谱技术进行分解。我们可以为三个时间序列变量生成数值，然后将它们组合成一个单一的变量。

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2 * cos(2 * pi * t * w[1])   3 * sin(2 * pi * t * 
    w[1])  # no.obs点上的6个周期的频率
4 * cos(2 * pi * t * w[2])   5 * sin(2 * pi * t * 
    w[2])  #频率为10个周期的观察点
6 * cos(2 * pi * t * w[3])   7 * sin(2 * pi * t * 
    w[3])  # 在没有观测点的情况下，频率为40个周期
y <- x1   x2   x3

为了观察这些变量，我们可以把它们绘制在一个单独的轴上。

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par(mfrow = c(2, 2), mar = c(2.2, 2.2, 2, 1), cex = 0.8)
plot(x1, type = "l", main = "x1")
plot(x2, type = "l", main = "x2")
plot(x3, type = "l", main = "x3")
plot(y, type = "l", main = "y")

此后，我们可以使用周期图来考虑这些时间序列变量的每一个属性。

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gram(y, main = "y", col = "red")

当然，我们可以利用一个过滤器，从总体时间序列变量中去除一些不需要的成分。为此，我们可以应用上下限相对较窄的Christiano-Fitzgerald滤波器。此后，我们使用应用于与周期有关的信息的周期图，来调查它是否成功地剔除了一些频率成分。

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cf(y0)
gram(cycle)

这个结果将表明，滤波器已经排除了大部分的高频率成分。为了看看这个周期与之前的数据有什么关系，我们把通过滤波器的周期性信息绘制在分量上。此外，我们还将这个结果绘制在综合周期的变量上。

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plot(x1, type = "l", lty = 1)
lines(cycle, lty = 3, lwd = 3)
plot(y, type = "l", lty = 1)
lines(cycle, lty = 3, lwd = 3)

在这两种情况下，它似乎都对过程中的趋势做了合理的描述。

南非商业周期的谱分解法

为了考虑如何在实践中使用这些频谱分解，我们现在可以考虑将这些技术应用于南非商业周期的各种特征中。

下一步将是运行所有的过滤器，这些过滤器被应用于识别南非商业周期的不同方法。

现在，让我们对商业周期的每一个标准应用一个周期图。

线性滤波器提供了一个很差的结果，因为趋势明显占主导地位（这不是周期应该有的）。这与Hodrick-Prescott滤波器的特征形成对比，后者的趋势信息已经被去除。Baxter & King和Christiano & Fitzgerald的带通滤波器也是这种情况。在这两种情况下，噪声也已经被去除。最后的结果与Beveridge-Nelson分解有关，我们注意到周期包括大量的趋势和大量的噪声。

小波分解

为了提供一个小波分解的例子，我们将把该方法应用于南非通货膨胀的数据。这将允许使用在这个过程中推导出对趋势的另一种衡量方法，这可以被认为是代表核心通货膨胀。请注意，这种技术可以应用于任何阶数的单整数据，所以我们不需要首先考虑变量的单整阶数。

然后，我们将利用消费者价格指数的月度数据，该数据包含在SARB的季度公告中。数据可以追溯到2002年。为了计算通货膨胀的同比指标，我们使用diff和lag命令。

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diff/cpi[-1 * (length - 11):length]

为了确保所有这些变量的转换都已正确进行，我们对数据进行绘图。

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plot(inf.yoy)

由于我们在这种情况下主要对识别平滑的趋势感兴趣，我们将使用贝希斯函数。这样的函数是Daubechies 4小波，它应用修正的离散小波变换方法。此外，我们还将使用三个母小波来处理各自的高频成分。

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wt(yoy, "d4")

然后我们可以为每个独立的频率成分绘制结果，如下所示。

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plot.ts(yoy)
for (i in 1:4) plot.ts(d4[[i]]

如果我们现在想在数据上绘制趋势（父小波）。

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plot.ts(inf, ylab = "inf")
lines(ren)

请注意，由于各自的频段是相加的，我们可以将其中一个母频段加入到趋势中，如下所示。

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inf.tmp <- inf.tren   inf.d4$w3
inf.tren2 <- ts(inf.tmp, start = c(2003, 1), frequency = 12)

plot.ts(inf.yoy, ylab = "inf")
lines(inf.tren2, col = "red")

相关经济变量的周期性成分之间的相关性

为了确定周期的特征是否合适，我们可以考虑宏观经济总量的一些不同周期性方法之间的相关性。例如，我们可以考虑产出和生产（或就业）的周期性在不同的滞后期应该是相关的。如果它们不相关，那么该方法可能无法准确描述各自变量的周期性成分。

在本文使用的例子中，代码可能有点难以理解，但我们鼓励你自己去研究，以提高你对这个编码环境的总体理解。 

下一步是读入数据并为数据的各种周期性成分创建一些矩阵。

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yd <- dat[5:n.obs, ] - dat[1:(n.obs - 4), ]  # 存储输出

yc_li <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)
yc_hp <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)
yc_bp <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)
yc_bn <- matrix(rep(0, n.obs * n.var), ncol = n.var)

使用上面包含的方法对数据进行过滤。

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for (i in 1:n) {
    
    # 用线性滤波器对数据进行去趋势处理
    lin.mod <- lm(dat[, i] ~ time(dat[, i]))
    
    # 用HP滤波器去趋势数据
    yc_hp[, i] <- hp.cycle
    
    #用带通滤波器去趋势数据
    yc_bp[, i] <- bp.cycle
    
    #  Beveridge-Nelson分解
    yc_bn[, i] <- bn.[, 2]
}

计算不同提前期和滞后期的相关关系。

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for (i in 1:n) {
    for (j in 1:n.var) {
        c_li <- leadlag(yc_li[, i], yc_li[, j], maxLeadLag)
        c_hp <- leadlag(yc_hp[, i], yc_hp[, j], maxLeadLag)
        c_bp 
        c_bn
        c_yd 

        
        for (k in 1:5) {

            ynamesLong[(cnt   k), 1] <- paste(ynames.tmp)
        }
        cnt <- cnt   5

绘制结果。

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# 线性趋势

barplot(corrStylizedFact)
box()

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# hp滤波器

op <- par(mfrow = c(1, 3))
barplot(corrStyli, ylim = c(-1, 1))
box()

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# beveridge nelson 分解
barplot(coracts, ylim = c(-1, 1), col = "red")
box()

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