平衡二叉树（AVL树）
- 平衡二叉树也叫平衡二叉搜索树（self-balancing binary search tree）又被称为AVL树，可以保证查询效率较高。
- 特点：他是一颗空树或她的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一颗平衡二叉树。平衡二叉树的常用实现方法有红黑树、AVL算法、替罪羊树、Treap、伸展树等。
案例
有这样一个数列{1，2，3，4，5，6}，要求创建一颗二叉排序树（BST），并分析问题所在。
分析：
（1）左子树全部为空，从形式上看，更像一个单链表。
（2）插入速度没有影响。
（3）查询速度明显降低（因为需要一次比较），不能发挥BST的优势，因为每次还需要比较左子树，其查询速度比单链表还慢。
（4）解决方案，平衡二叉树（AVL）
应用案例
1.单旋转（左旋转）
1.根据数列{4，3，6，5，7，8}创建出对应的平衡二叉树。
2.思路分析
3.代码实现
代码语言：javascript复制 public class AVLNode
{
public int Id { get; set; }
public string Name { get; set; }
public AVLNode Left { get; set; }
public AVLNode Right { get; set; }
public AVLNode(int id, string name)
{
this.Id = id;
this.Name = name;
}
public override string ToString()
{
return $"TreeNode [id = { Id } , name ={ Name }]";
}
//返回左子树的高度
public int LeftHeight()
{
if (Left == null)
{
return 0;
}
return Left.Height();
}
//返回右子树的高度
public int RightHeight()
{
if (Right == null)
{
return 0;
}
return Right.Height();
}
/// <summary>
/// 返回以该节点为根节点的树的高度
/// </summary>
/// <returns></returns>
public int Height()
{
// 这里是为了统计出左子树和右子树的最大层， 1的目的是因为本身也算一层。
return Math.Max(Left == null ? 0 : Left.Height(), Right == null ? 0 : Right.Height()) 1;
}
public void Add(AVLNode node)
{
if (node == null) return;
//判断传入的节点的值，和当前子树的根节点的值关系
if (node.Id < this.Id)
{
//如果当前节点左子节点为null
if (this.Left == null)
{
this.Left = node;
}
else
{
//递归像左子树添加
this.Left.Add(node);
}
}
else
{
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.Right == null)
{
this.Right = node;
}
else
{
//递归向右子树添加
this.Right.Add(node);
}
}
//当添加完一个节点后，如果右子树的高度 - 左子树的高度 > 1则左旋转
if (RightHeight() - LeftHeight() > 1)
{
//LeftRotate();
//if (Right != null && Right.RightHeight() < Right.LeftHeight())
//{
// //先对右子树进行旋转
//}
}
}
public void InfixOrder()
{
if (this.Left != null)
{
this.Left.InfixOrder();
}
Console.WriteLine(this);
if (this.Right != null)
{
this.Right.InfixOrder();
}
}
/// <summary>
/// 如果找到节点则返回，否则为null
/// </summary>
/// <param name="value"></param>
/// <returns></returns>
public AVLNode Search(int id)
{
if (id == this.Id)
{
return this;
}
else if (id < this.Id)
{
//如果左子节点为空
if (this.Left == null)
{
return null;
}
return this.Left.Search(id);
}
else
{
//如果朝朝的值不小于当前节点，向右子树递归查找
if (this.Right == null)
{
return null;
}
return this.Right.Search(id);
}
}
/// <summary>
/// 查找要删除的节点的父节点
/// </summary>
/// <param name="id"></param>
/// <returns></returns>
public AVLNode SearchParent(int id)
{
//如果当前节点就是要删除的节点的父节点，就返回
if (this.Left != null && this.Left.Id == id || (this.Right != null && this.Right.Id == id))
{
return this;
}
else
{
//如果照抄的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子节点不为空
if (id < this.Id && this.Left != null)
{
return this.Left.SearchParent(id);
}
else if (id >= this.Id && this.Right != null)
{
return this.Right.SearchParent(id);
}
else
{
return null; //没有找到父节点
}
}
}
}
public class AVLTree
{
AVLNode root;
public AVLNode GetRoot()
{
return root;
}
public void Add(AVLNode node)
{
if (root == null)
{
root = node;
}
else
{
root.Add(node);
}
}
public void InfixOrder()
{
if (root != null)
{
root.InfixOrder();
}
else
{
Console.WriteLine("二叉排序树为空，不能遍历！");
}
}
public AVLNode Search(int id)
{
if (root == null)
{
return null;
}
else
{
return root.Search(id);
}
}
public AVLNode SearchParent(int id)
{
if (root == null)
{
return null;
}
else
{
return root.SearchParent(id);
}
}
/// <summary>
/// 1.node 传入的节点当作二叉树排序树的根节点
/// 2.删除node为根节点的二叉排序树的最小节点
/// </summary>
/// <param name="node">以node为根节点二叉排序树的最小节点的值</param>
/// <returns></returns>
public int DelRightTreeMin(AVLNode node)
{
AVLNode target = node;
//循环的查找左节点，就会找到最小值
while (target.Left != null)
{
target = target.Left;
}
//这时target指向了最小节点
DelNode(target.Id);
return target.Id;
}
/// <summary>
/// 删除节点
/// </summary>
/// <param name="id"></param>
public void DelNode(int id)
{
if (root == null)
{
return;
}
else
{
//先找到需要删除的节点targetnode
AVLNode targetNode = Search(id);
//如果没有找到要删除的节点
if (targetNode == null)
{
return;
}
//如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个节点
if (root.Left == null && root.Right == null)
{
root = null;
return;
}
//找到targetnode的父节点
AVLNode parent = SearchParent(id);
//如果要删除的节点是叶子节点
if (targetNode.Left == null && targetNode.Right == null)
{
//判断targetnode是父节点的左子节点，还是右子节点
if (parent.Left != null && parent.Left.Id == id)
{
parent.Left = null;
}
else if (parent.Right != null && parent.Right.Id == id)
{
parent.Right = null;
}
}
else if (targetNode.Left != null && targetNode.Right != null)
{
//左右子树不为空的时候
int minVal = DelRightTreeMin(targetNode.Right);
targetNode.Id = minVal;
}
else
{
//删除只有一棵树的节点
//如果要删除的节点有左子节点
if (targetNode.Left != null)
{
//如果targetnode是parent 的左子节点
if (parent.Left.Id == id)
{
parent.Left = targetNode.Left;
}
else
{
//targetNode是parent的右子节点
parent.Right = targetNode.Left;
}
}
else
{
//如果targetnode是parent的左子节点
if (parent.Left.Id == id)
{
parent.Left = targetNode.Right;
}
else
{
//targetNode是parent的右子节点
parent.Right = targetNode.Right;
}
}
}
}
}
}代码应用
代码语言：javascript复制 static void Main(string[] args)
{
int[] array = { 4,3,6,5,7,8 };
AVLTree tree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < array.Length; i )
{
tree.Add(new AVLNode(array[i], i.ToString()));
}
Console.WriteLine("中序遍历");
tree.InfixOrder();
Console.WriteLine("在没有平衡处理后");
Console.WriteLine("树的高度" tree.GetRoot().Height());
Console.WriteLine("树的左子树的高度" tree.GetRoot().LeftHeight());
Console.WriteLine("树的右子树的高度" tree.GetRoot().RightHeight());
Console.Read();
}
加上左旋转之后
代码语言：javascript复制public class AVLNode
{
public int Id { get; set; }
public string Name { get; set; }
public AVLNode Left { get; set; }
public AVLNode Right { get; set; }
public AVLNode(int id, string name)
{
this.Id = id;
this.Name = name;
}
public override string ToString()
{
return $"TreeNode [id = { Id } , name ={ Name }]";
}
/// <summary>
/// 左旋转
/// </summary>
private void LeftRotate()
{
//创建新的节点，以当前根节点的值
AVLNode newNode = new AVLNode(Id,"");
//把新的节点的左子树设置成当前节点的左子树
newNode.Left = Left;
//把新的节点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树
newNode.Right = Right.Left;
//把当前节点的值替换成右子节点的值
Id = Right.Id;
//把当前节点的右子树设置成右子树的右子树
Right = Right.Right;
//把当前节点的左子树（左子节点）设置成新的节点
Left = newNode;
}
//返回左子树的高度
public int LeftHeight()
{
if (Left == null)
{
return 0;
}
return Left.Height();
}
//返回右子树的高度
public int RightHeight()
{
if (Right == null)
{
return 0;
}
return Right.Height();
}
/// <summary>
/// 返回以该节点为根节点的树的高度
/// </summary>
/// <returns></returns>
public int Height()
{
// 这里是为了统计出左子树和右子树的最大层， 1的目的是因为本身也算一层。
return Math.Max(Left == null ? 0 : Left.Height(), Right == null ? 0 : Right.Height()) 1;
}
public void Add(AVLNode node)
{
if (node == null) return;
//判断传入的节点的值，和当前子树的根节点的值关系
if (node.Id < this.Id)
{
//如果当前节点左子节点为null
if (this.Left == null)
{
this.Left = node;
}
else
{
//递归像左子树添加
this.Left.Add(node);
}
}
else
{
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.Right == null)
{
this.Right = node;
}
else
{
//递归向右子树添加
this.Right.Add(node);
}
}
//当添加完一个节点后，如果右子树的高度 - 左子树的高度 > 1则左旋转
if (RightHeight() - LeftHeight() > 1)
{
LeftRotate();
}
}
public void InfixOrder()
{
if (this.Left != null)
{
this.Left.InfixOrder();
}
Console.WriteLine(this);
if (this.Right != null)
{
this.Right.InfixOrder();
}
}
/// <summary>
/// 如果找到节点则返回，否则为null
/// </summary>
/// <param name="value"></param>
/// <returns></returns>
public AVLNode Search(int id)
{
if (id == this.Id)
{
return this;
}
else if (id < this.Id)
{
//如果左子节点为空
if (this.Left == null)
{
return null;
}
return this.Left.Search(id);
}
else
{
//如果朝朝的值不小于当前节点，向右子树递归查找
if (this.Right == null)
{
return null;
}
return this.Right.Search(id);
}
}
/// <summary>
/// 查找要删除的节点的父节点
/// </summary>
/// <param name="id"></param>
/// <returns></returns>
public AVLNode SearchParent(int id)
{
//如果当前节点就是要删除的节点的父节点，就返回
if (this.Left != null && this.Left.Id == id || (this.Right != null && this.Right.Id == id))
{
return this;
}
else
{
//如果照抄的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子节点不为空
if (id < this.Id && this.Left != null)
{
return this.Left.SearchParent(id);
}
else if (id >= this.Id && this.Right != null)
{
return this.Right.SearchParent(id);
}
else
{
return null; //没有找到父节点
}
}
}
}
2.单旋转（右旋转）
1.根据数列{10，12，8，9，7，6}创建出对应的平衡二叉树。
2.思路分析
3.代码实现
代码语言：javascript复制 static void Main(string[] args)
{
//其他代码没变
//int[] array = { 4,3,6,5,7,8 };
int[] array = { 10, 12, 8, 9,7,6 };
AVLTree tree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < array.Length; i )
{
tree.Add(new AVLNode(array[i], i.ToString()));
}
Console.WriteLine("中序遍历");
tree.InfixOrder();
Console.WriteLine("在没有平衡处理前");
Console.WriteLine("树的高度" tree.GetRoot().Height());
Console.WriteLine("树的左子树的高度" tree.GetRoot().LeftHeight());
Console.WriteLine("树的右子树的高度" tree.GetRoot().RightHeight());
Console.Read();
}
添加上右旋转
代码语言：javascript复制 public class AVLNode
{
public int Id { get; set; }
public string Name { get; set; }
public AVLNode Left { get; set; }
public AVLNode Right { get; set; }
public AVLNode(int id, string name)
{
this.Id = id;
this.Name = name;
}
public override string ToString()
{
return $"TreeNode [id = { Id } , name ={ Name }]";
}
/// <summary>
/// 左旋转
/// </summary>
private void LeftRotate()
{
//创建新的节点，以当前根节点的值
AVLNode newNode = new AVLNode(Id,"");
//把新的节点的左子树设置成当前节点的左子树
newNode.Left = Left;
//把新的节点的右子树设置成当前节点的右子树的左子树
newNode.Right = Right.Left;
//把当前节点的值替换成右子节点的值
Id = Right.Id;
//把当前节点的右子树设置成右子树的右子树
Right = Right.Right;
//把当前节点的左子树（左子节点）设置成新的节点
Left = newNode;
}
/// <summary>
/// 右旋转
/// </summary>
private void RightRotate()
{
AVLNode newNode = new AVLNode(Id, "");
newNode.Right = Right;
newNode.Left = Left.Right;
Id = Left.Id;
Left = Left.Left;
Right = newNode;
}
//返回左子树的高度
public int LeftHeight()
{
if (Left == null)
{
return 0;
}
return Left.Height();
}
//返回右子树的高度
public int RightHeight()
{
if (Right == null)
{
return 0;
}
return Right.Height();
}
/// <summary>
/// 返回以该节点为根节点的树的高度
/// </summary>
/// <returns></returns>
public int Height()
{
// 这里是为了统计出左子树和右子树的最大层， 1的目的是因为本身也算一层。
return Math.Max(Left == null ? 0 : Left.Height(), Right == null ? 0 : Right.Height()) 1;
}
public void Add(AVLNode node)
{
if (node == null) return;
//判断传入的节点的值，和当前子树的根节点的值关系
if (node.Id < this.Id)
{
//如果当前节点左子节点为null
if (this.Left == null)
{
this.Left = node;
}
else
{
//递归像左子树添加
this.Left.Add(node);
}
}
else
{
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.Right == null)
{
this.Right = node;
}
else
{
//递归向右子树添加
this.Right.Add(node);
}
}
//当添加完一个节点后，如果右子树的高度 - 左子树的高度 > 1则左旋转
if (RightHeight() - LeftHeight() > 1)
{
LeftRotate();
}
if (LeftHeight() - RightHeight() > 1)
{
RightRotate();
}
}
public void InfixOrder()
{
if (this.Left != null)
{
this.Left.InfixOrder();
}
Console.WriteLine(this);
if (this.Right != null)
{
this.Right.InfixOrder();
}
}
/// <summary>
/// 如果找到节点则返回，否则为null
/// </summary>
/// <param name="value"></param>
/// <returns></returns>
public AVLNode Search(int id)
{
if (id == this.Id)
{
return this;
}
else if (id < this.Id)
{
//如果左子节点为空
if (this.Left == null)
{
return null;
}
return this.Left.Search(id);
}
else
{
//如果朝朝的值不小于当前节点，向右子树递归查找
if (this.Right == null)
{
return null;
}
return this.Right.Search(id);
}
}
/// <summary>
/// 查找要删除的节点的父节点
/// </summary>
/// <param name="id"></param>
/// <returns></returns>
public AVLNode SearchParent(int id)
{
//如果当前节点就是要删除的节点的父节点，就返回
if (this.Left != null && this.Left.Id == id || (this.Right != null && this.Right.Id == id))
{
return this;
}
else
{
//如果照抄的值小于当前节点的值，并且当前节点的左子节点不为空
if (id < this.Id && this.Left != null)
{
return this.Left.SearchParent(id);
}
else if (id >= this.Id && this.Right != null)
{
return this.Right.SearchParent(id);
}
else
{
return null; //没有找到父节点
}
}
}
}
3.双旋转
上面的两个数列，进行单旋转（一次旋转）就可以将非平衡二叉树转成平衡二叉树，但是在某些情况下，单旋转不能完成平衡二叉树的转换。比如数列：
- int[] array = {10,11,7,6,8,9}; 运行原来的代码可以看到，并没有转换成AVL树。
- int[] array = {2,1,6,5,7,3}; 运行原来的代码可以看到，并没有转换成AVL树。
问题分析：
1.当符合右旋转的条件时
2.如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
3.先对当前这个节点的左节点进行向左旋转，是为了降低左树的高度
4.在对当前节点进行右旋转操作即可
代码语言：javascript复制 public void Add(AVLNode node)
{
if (node == null) return;
//判断传入的节点的值，和当前子树的根节点的值关系
if (node.Id < this.Id)
{
//如果当前节点左子节点为null
if (this.Left == null)
{
this.Left = node;
}
else
{
//递归像左子树添加
this.Left.Add(node);
}
}
else
{
//添加的节点的值大于当前节点的值
if (this.Right == null)
{
this.Right = node;
}
else
{
//递归向右子树添加
this.Right.Add(node);
}
}
//当添加完一个节点后，如果右子树的高度 - 左子树的高度 > 1则左旋转
if (RightHeight() - LeftHeight() > 1)
{
//如果它的右子树的左子树高度大于它的右子树的高度
if (Right != null && Right.LeftHeight() > Right.RightHeight())
{
//先对又子节点进行右旋转
Right.RightRotate();
LeftRotate();
}
else
{
//然后在对当前节点进行左旋转
LeftRotate();
}
//必须要添加，如果RightHeight() - LeftHeight() > 1条件成立，处理完成之后已经达到平衡。
//后续的代码就不需要再次处理了。
return;
}
if (LeftHeight() - RightHeight() > 1)
{
//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
if (Left != null && Left.RightHeight() > Left.LeftHeight())
{
//先对当前这个节点的左节点进行向左旋转
Left.LeftRotate();
//再对当前节点进行右旋转
RightRotate();
}
else
{
//直接右旋转即可
RightRotate();
}
}
}调用
代码语言：javascript复制 static void Main(string[] args)
{
//int[] array = { 4,3,6,5,7,8 };
//int[] array = { 10, 12, 8, 9,7,6 };
int[] array = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 };
//int[] array = { 2, 1, 6, 5, 7, 3 };
AVLTree tree = new AVLTree();
for (int i = 0; i < array.Length; i )
{
tree.Add(new AVLNode(array[i], i.ToString()));
}
Console.WriteLine("中序遍历");
tree.InfixOrder();
Console.WriteLine("在平衡处理后");
Console.WriteLine("树的高度" tree.GetRoot().Height());
Console.WriteLine("树的左子树的高度" tree.GetRoot().LeftHeight());
Console.WriteLine("树的右子树的高度" tree.GetRoot().RightHeight());
Console.WriteLine("当前根节点" tree.GetRoot());
Console.Read();
}
