12.4 科学计算
科学计算是科学、工程等项目中必不可少的，MATLAB 曾风光一时，但它是收费的，并且有“被禁”的风险——坚决反对用盗版软件，“被禁”不是盗版的理由。其实，Python ——开源、免费——是做科学计算的选择之一，它不仅能做 MATLAB 所能做的一切，还能做它不能做的。所以隆重推荐，在科学计算上选用 Python 。
12.4.1 Jupyter
Jupyter 是一款基于浏览器的开源的交互开发环境，常用于科学计算、数据科学、机器学习等业务中。其官方网站是：https://jupyter.org/ ，目前有 JupyterLab 和 Jupyter Notebook ，一般认为 JupyterLab 更趋近于 IDE，功能多于 Jupyter Notebook。下面以 JupyterLab 为例，演示安装和使用方法。
代码语言：javascript复制% pip install jupyterlab
使用 pip 安装，安装之后，执行如下指令启动 JupyterLab ：
% jupyter-lab
... （省略部分显示信息）
Or copy and paste one of these URLs:
http://localhost:8888/?token=549de63a2fcd53325c5d17b8dd7a00ce4b63766aa368efb1
or http://127.0.0.1:8888/?token=549de63a2fcd53325c5d17b8dd7a00ce4b63766aa368efb1
一般情况下，会自动打开本地计算机操作系统默认的浏览器，并显示图12-4-1所示效果。
图12-4-1 JupyterLab 默认页面
如果没有打开图12-4-1所示页面，或者打算用其他浏览器，可以复制终端所显示的地址（如：http://localhost:8888/?token=549de63a2fcd53325c5d17b8dd7a00ce4b63766aa368efb1 ）到指定浏览器地址栏，同样能打开图12-4-1所示界面（注意，地址中的 token 项不能缺少）。
JupyterLab 所提供的各项功能，与通常 IDE 类似，此处不做详细说明，有意逐项了解的读者可以自行查阅专门资料。下面仅就如何使用它编写程序和执行所编写的代码给予说明，这是最基本的应用。
在图12-4-1所示界面的 Launcher 标签下，选择 Notebook 中的第一项“Python 3”（读者的开发环境可能与图中所示不同，只要选择“Python 3 ”作为程序执行的驱动即可。然后进入图12-4-2所示页面。
图12-4-2 编辑页面
参照图12-4-3所示的功能，将当前文件改名为 scicomputing.ipynb ，并将左侧文件栏折叠收起。此外，从图示中还可看到其他关于文件和目录的基本操作，供读者参阅。
图12-4-3 基本操作
然后点击菜单 View ，并选中如图12-4-4所示的项目，即可在代码块中显示行号。
图12-4-4 显示代码块中的行号
将鼠标移动到代码块中并单击，如图12-4-5所示，开始输入一行代码，然后回车，输入第二行——注意，这里与 Python 交互模式不同，回车意味着换行，而不是执行当前行代码。输入完图12-4-5所示的所有代码。
图12-4-5 编写代码
按照图12-4-5所示，点击该按钮，可以执行当前代码块；或者按组合键 shift Return/Enter 执行，效果如图12-4-6所示。
图12-4-6 执行代码块
执行了代码块 [1] 之后，执行结果显示在代码之后，并自动进入下一个代码块。在编辑界面顶部，有各种常见的编辑、控制按钮，把鼠标滑动到按钮上，会显示该按钮的作用。
以上是 JupyterLab 的最基本使用方法，其他复杂功能，可以在应用过程中学习。
12.4.2 第三方库
Python 生态中拥有非常丰富的支持科学计算的第三方库，常用的有 NumPy 、Pandas 、SciPy 、Matplotlib 、SymPy 等，建议读者将这些库依次安装。
代码语言：javascript复制% pip install numpy pandas sympy scipy matplotlib
除了能在终端执行安装指令之外，在 JupyterLab 的代码块中也可以执行终端指令，如图12-4-7所示，在代码块中输入 !pip install numpy 并执行——注意前面的 ! 符号。其效果等同于以往在终端执行安装 pip install numpy 指令。
图12-4-7 在代码块中执行安装指令
安装好之后，在代码块中输入如下代码，并执行，即可查看所安装的 NumPy 的版本。
代码语言：javascript复制[3]: import numpy as np
np.__version__
[3]: '1.19.4' # 上述代码块的输出结果
在数据科学中，引入一些常用的第三方库时，习惯于再命名一个别称（或简称），例如以 np 作为 numpy 的别称，并且这是一种习惯命名，如果非要以 ny 为别称，语法上没有问题，但不是大多数人的习惯——代码更多时候是给人看的。
安装好基础库之后，再列举几个示例（随后几个小节内容），体会 Python 在科学计算中的应用。
12.4.3 矩阵
矩阵不仅在线性代数中占据重要地位，也是科学计算的主角。如果读者还忌惮于当初用纸笔完成有关矩阵计算的痛苦，现在使用 Python 中科学计算的工具包则会体验到无比的畅快。
在 JupyterLab 代码块中输入如下代码（如无特别声明，本节的代码均在 JupyterLab 中调试）。
代码语言：javascript复制[4]: import numpy as np
I_m = np.array([[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]])
I_m
[4]: array([[1, 0, 0],
[0, 1, 0],
[0, 0, 1]])
变量 I_m 引用的对象是用 np.array() 创建的二维数组，可以用二维数组表示矩阵—— I_m 表示一个
的单位矩阵。
此外，用 NumPy 中的 np.mat() 也能生成矩阵对象：
[5]: np.mat("1 2 3; 4 5 6")
[5]: matrix([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
以这两种形式表示的矩阵，在矩阵加法和数量乘法上没有任何差别，例如：
代码语言：javascript复制# 二维数组表示的矩阵相加
[6]: a = np.array([[1, 4], [8, 9]])
b = np.array([[2, 3], [7, 11]])
a b
[6]: array([[ 3, 7],
[15, 20]])
# 矩阵对象相加
[7]: ma = np.mat("1 4; 8 9")
mb = np.mat("2 3; 7 11")
ma mb
[7]: matrix([[ 3, 7],
[15, 20]])
# 矩阵数量乘法
[8]: print('array: ', 7 * a)
print("")
print('mat: ', 7 * ma)
[8]: array: [[ 7 28]
[56 63]]
mat: [[ 7 28]
[56 63]]
但是，矩阵乘法会有所不同。首先来看数组 a 和 b ，如果计算 a * b ，其所得并不是它们所表征的矩阵乘法结果。
[9]: a * b # 数组相乘，不是矩阵乘法
[9]: array([[ 2, 12],
[ 56, 99]])
而矩阵对象 ma 和 mb 直接相乘 ma * mb 的结果是根据矩阵相乘规则所得。
[10]: ma * mb
[10]: matrix([[ 30, 47],
[ 79, 123]])
如果用数组表示矩阵，且计算矩阵乘法，可以通过 np.dot() 函数或者数组的方法 dot() 实现。
[11]: np.dot(a, b) # 或者 a.dot(b)
[11]: array([[ 30, 47],
[ 79, 123]])
在实际的项目中，经常会遇到稀疏矩阵——详细内容请参阅拙作《机器学习数学基础》（电子工业出版社）。例如：
代码语言：javascript复制[12]: sm = np.array([[1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0]])
sm
[12]: array([[1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0]])
用 sm 表示一个稀疏矩阵，由于行列数还不是很多，像上面那样写出来还能忍受。稀疏矩阵包含了很多零，虽然耗费了时间和精力，但它们事实上没有什么意义，还占用内存空间。为此可以对此类矩阵进行压缩，并直接生成压缩矩阵对象。
[13]: from scipy.sparse import csr_matrix
row = np.array([0, 0, 2])
col = np.array([0, 2, 2])
data = np.array([1, 2, 3])
csrm = csr_matrix((data, (row, col)), shape=(3, 8))
csrm
[13]: <3x8 sparse matrix of type '<class 'numpy.longlong'>'
with 3 stored elements in Compressed Sparse Row format>
现在得到的压缩矩阵 csrm 如果转化为数组，与前面创建的 sm 一样。
[14]: csrm.toarray()
[14]: array([[1, 0, 2, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
[0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 0]], dtype=int64)
本书作者在《机器学习数学基础》(http://math.itdiffer.com)一书中，专门介绍了矩阵及其有关计算的 Python 实现方法，推荐有兴趣的读者深入学习参考。
12.4.4 解线性方程组
最一般的解线性方程组的方法是高斯消元法，在传统的数学教材中，还会列出其他巧妙的方法。这个工作如果教给 Python ，就是找到适合的函数——背后的事情教给了发明者，如果读者立志创新研究，可以自己成为发明者。
例如，求方程组的解：
用矩阵的方式，可以将方程组表示为：
然后，编写如下代码：
代码语言：javascript复制[15]: A = np.mat("-1 3 -5; 2 -2 4; 1 3 0") # 系数矩阵
b = np.mat('-3 8 6').T # 常数项
r = np.linalg.solve(A, b) # 求解
print(r)
[15]: [[ 4.5]
[ 0.5]
[-0. ]]
这里使用 np.linalg.solve() 函数求解线性方程组，从输出结果可知，其解为
。
但是，如果遇到这样的方程组：
还是使用前面的函数，对此方程组求解。
代码语言：javascript复制[17]: A = np.mat("1 3 -4 2;3 -1 2 -1;-2 4 -1 3;3 0 -7 6")
b = np.mat("0 0 0 0").T
r = np.linalg.solve(A, b)
print(r)
[17]: [[ 0.]
[ 0.]
[-0.]
[ 0.]]
当所有变量的解都是 0 ，原线性方程组成立，但这仅仅是一个特解。根据线性代数的知识可以判断，此方程组有无穷多个解（参阅《机器学习数学基础》2.4.2节），还能用程序计算吗？
代码语言：javascript复制[18]: from sympy import *
from sympy.solvers.solveset import linsolve
x1, x2, x3, x4 = symbols("x1 x2 x3 x4")
linsolve([x1 3*x2 - 4*x3 2*x4,
3*x1 - x2 2*x3 - x4,
-2*x1 4*x2 - x3 3*x4,
3*x1 9*x2 - 7*x3 6*x4],
(x1, x2, x3, x4))
输出：
这就是该线性方程组的通解，如果对应到未知量，即：
其中
是自由变量。
12.4.5 假设检验
假设检验是统计学中的重要内容，也广泛地应用在科学研究和工程项目中。下面选用《机器学习数学基础》6.5.1节的一个案例，读者从中感受 Python 在这方面的应用。
假设有人制造了一个骰子，他声称是均匀的，也就是假设分布律为：
为了证明自己的判断，他做了
次投掷试验，并将各个点数出现的次数记录下来（为了便于观察，出现次数用
加或减一个数表示。
点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
次数 |
接下来利用
检验法，通过如下程序对此人的结论——假设——进行检验。
代码语言：javascript复制[19]: from scipy.stats import chisquare
chisquare([1e10-1e6, 1e10 1.5e6,
1e10-2e6, 1e10 4e6, 1e10-3e6, 1e10 0.5e6])
[19]: Power_divergenceResult(statistic=3250.0, pvalue=0.0)
输出结果显示，检验统计量的值
。根据如下公式（对此公式详细讲解，请参阅《机器学习数学基础》6.5.1节）：
此处
