大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
目录
- 数学： 数值分析
- 一、牛顿插值法原理
- 1.牛顿插值多项式
- 2.差商
- 2.1 定义
- 2.2 性质
- 2.3 差商表
- 3.牛顿（Newton）插值公式
- 二、牛顿插值公式matlab代码
- 1. matlab实时在线脚本
- 2. 牛顿插值代码
- 3.实例
- 三、总结
- 四、补充
数学： 数值分析
刚上完数值分析课在其中学习了不少的知识，课后还做了一些课程实验主要都是利用matlab编程来解决问题，接下先讲插值法中的牛顿插值法
一、牛顿插值法原理
1.牛顿插值多项式
定义牛顿插值多项式为： N n ( x ) = a 0 a 1 ( x − x 0 ) a 2 ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ a n ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n − 1 ) N_nleft(xright)=a_0 a_1left(x-x_0right) a_2left(x-x_0right)left(x-x_1right) cdots a_nleft(x-x_0right)left(x-x_1right)cdotsleft(x-x_{n-1}right) Nn(x)=a0 a1(x−x0) a2(x−x0)(x−x1) ⋯ an(x−x0)(x−x1)⋯(x−xn−1) 其中 a k ( k = 0 , 1 , 2 , ⋯ , n ) a_kleft(k=0,1,2,cdots,nright) ak(k=0,1,2,⋯,n)为待定系数
可见，牛顿插值多项式 N ( x ) Nleft(xright) N(x)是插值多项式 P ( x ) Pleft(xright) P(x)的另一种表示形式, 与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系.
2.差商
2.1 定义
自变量之差与因变量之差之比叫差商 定义: 函数 y = f ( x ) y=fleft(xright) y=f(x)在区间 [ x i , x i 1 ] left[x_i,x_{i 1}right] [xi,xi 1]上的平均变化率 f [ x i , x i 1 ] = f ( x i 1 ) − f ( x i ) x i 1 − x i fleft[x_i,x_{i 1}right]=frac{fleft(x_{i 1}right)-fleft(x_iright)}{x_{i 1}-x_i} f[xi,xi 1]=xi 1−xif(xi 1)−f(xi) 称为 f ( x ) fleft(xright) f(x)关于 x i , x i 1 x_i,x_{i 1} xi,xi 1的一阶差商，并记为 f [ x i , x i 1 ] fleft[x_i,x_{i 1}right] f[xi,xi 1] 二阶差商: f [ x i , x i 1 , x i 2 ] = f [ x i 1 , x i 2 ] − f [ x i , x i 1 ] x i 2 − x i fleft[x_i,x_{i 1},x_{i 2}right]=frac{fleft[x_{i 1},x_{i 2}right]-fleft[x_i,x_{i 1}right]}{x_{i 2}-x_i} f[xi,xi 1,xi 2]=xi 2−xif[xi 1,xi 2]−f[xi,xi 1] m阶差商: f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x m ] = f [ x 1 , x 2 , ⋯ , x m ] − f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x m − 1 ] x m − x 0 fleft[x_0,x_1,cdots,x_mright]=frac{fleft[x_1,x_2,cdots,x_mright]-fleft[x_0,x_1,cdots,x_{m-1}right]}{x_m-x_0} f[x0,x1,⋯,xm]=xm−x0f[x1,x2,⋯,xm]−f[x0,x1,⋯,xm−1]
2.2 性质
性质1：函数 f ( x ) fleft(xright) f(x)的 n 阶差商 f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] fleft[x_0,x_1,cdots,x_nright] f[x0,x1,⋯,xn]可由函数值 f ( x 0 ) , f ( x 1 ) , ⋯ , f ( x n ) fleft(x_0right),fleft(x_1right),cdots,fleft(x_nright) f(x0),f(x1),⋯,f(xn) 的线性组合表示, 且 f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] = ∑ k = 0 n f ( x k ) ω ′ ( x k ) = ∑ k = 0 n f ( x k ) ( x k − x 0 ) ( x k − x 1 ) ⋯ ( x k − x k − 1 ) ( x − x k 1 ) ⋯ ( x k − x n ) fleft[x_0,x_1,cdots,x_nright]=sum_{k=0}^nfrac{fleft(x_kright)}{omega’left(x_kright)}\=sum_{k=0}^nfrac{fleft(x_kright)}{left(x_k-x_0right)left(x_k-x_1right)cdotsleft(x_k-x_{k-1}right)left(x-x_{k 1}right)cdotsleft(x_k-x_nright)} f[x0,x1,⋯,xn]=k=0∑nω′(xk)f(xk)=k=0∑n(xk−x0)(xk−x1)⋯(xk−xk−1)(x−xk 1)⋯(xk−xn)f(xk)其中 ω ′ ( x k ) = ∏ i = 0 , i ≠ k n ( x k − x i ) omega’left(x_kright)=prod_{i=0,ineq k}^nleft(x_k-x_iright) ω′(xk)=i=0,i=k∏n(xk−xi) 性质2：差商具有对称性,即在k阶差商中 f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] fleft[x_0,x_1,cdots,x_nright] f[x0,x1,⋯,xn]任意交换两个节点 x i x_i xi和 x j x_j xj的次序,其值不变。 例如： f [ x 0 , x 1 , x 2 ] = f [ x 1 , x 2 , x 0 ] = f [ x 0 , x 2 , x 1 ] = ⋯ fleft[x_0,x_1,x_2right]=fleft[x_1,x_2,x_0right]=fleft[x_0,x_2,x_1right]=cdots f[x0,x1,x2]=f[x1,x2,x0]=f[x0,x2,x1]=⋯ 性质3：k阶差商 f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k ] fleft[x_0,x_1,cdots,x_kright] f[x0,x1,⋯,xk]和k阶导数之间有下列关系 f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k ] = f ( k ) ( ξ ) k ! ξ ∈ ( m i n 0 ≤ i ≤ n x i , m a x 0 ≤ i ≤ n x i ) fleft[x_0,x_1,cdots,x_kright]=frac{f^{left(kright)}left(xiright)}{k!};;;;;;;xiinleft(underset{0leq ileq n}{min}x_i,underset{0leq ileq n}{max}x_iright) f[x0,x1,⋯,xk]=k!f(k)(ξ)ξ∈(0≤i≤nminxi,0≤i≤nmaxxi)
2.3 差商表
x i x_i xi | f [ x i ] fleft[x_iright] f[xi] | f [ x i , x i 1 ] fleft[x_i,x_{i 1}right] f[xi,xi 1] | f [ x i , x i 1 , x i 2 ] fleft[x_i,x_{i 1},x_{i 2}right] f[xi,xi 1,xi 2] | f [ x i , x i 1 , x i 2 , x i 3 ] fleft[x_i,x_{i 1},x_{i 2},x_{i 3}right] f[xi,xi 1,xi 2,xi 3] | ⋯ cdots ⋯ |
|---|---|---|---|---|---|
x 0 x_0 x0 | f ( x 0 ) fleft(x_0right) f(x0) | ||||
x 1 x_1 x1 | f ( x 1 ) fleft(x_1right) f(x1) | f [ x 0 , x 1 ] fleft[x_0,x_1right] f[x0,x1] | |||
x 2 x_2 x2 | f ( x 2 ) fleft(x_2right) f(x2) | f [ x 1 , x 2 ] fleft[x_1,x_2right] f[x1,x2] | f [ x 0 , x 1 , x 2 ] fleft[x_0,x_1,x_2right] f[x0,x1,x2] | ||
x 3 x_3 x3 | f ( x 3 ) fleft(x_3right) f(x3) | f [ x 2 , x 3 ] fleft[x_2,x_3right] f[x2,x3] | f [ x 1 , x 2 , x 3 ] fleft[x_1,x_2,x_3right] f[x1,x2,x3] | f [ x 0 , x 1 , x 2 , x 3 ] fleft[x_0,x_1,x_2,x_3right] f[x0,x1,x2,x3] | |
⋯ cdots ⋯ | ⋯ cdots ⋯ | ⋯ cdots ⋯ | ⋯ cdots ⋯ | ⋯ cdots ⋯ | ⋯ cdots ⋯ |
3.牛顿（Newton）插值公式
由之前牛顿插值多项式和差商可推出牛顿插值公式其中系数 a 0 = f ( x 0 ) a_0=fleft(x_0right) a0=f(x0) a 1 = f [ x 0 , x 1 ] a_1=fleft[x_0,x_1right] a1=f[x0,x1] a 2 = f [ x 0 , x 1 , x 2 ] a_2=fleft[x_0,x_1,x_2right] a2=f[x0,x1,x2] 其中一般式： a k = f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x k ] ( k = 0 , 1 , ⋯ , n ) a_k=fleft[x_0,x_1,cdots,x_kright];;;;;left(k=0,1,cdots,nright) ak=f[x0,x1,⋯,xk](k=0,1,⋯,n) 将求得系数代入多项式中即可得到n次牛顿插值公式 N n ( x ) = f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ] ( x − x 0 ) ⋯ f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n ) N_nleft(xright)=fleft(x_0right) fleft[x_0,x_1right]left(x-x_0right) cdots fleft[x_0,x_1,cdots,x_nright]left(x-x_0right)left(x-x_1right)cdotsleft(x-x_nright) Nn(x)=f(x0) f[x0,x1](x−x0) ⋯ f[x0,x1,⋯,xn](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn) 其余项为 R n ( x ) = f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n , x ] ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ⋯ ( x − x n ) = f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n , x ] ∏ i = 0 n ( x − x i ) = f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! ∏ i = 0 n ( x − x i ) f [ x 0 , x 1 , ⋯ , x n ] = f ( n 1 ) ( ξ ) ( n 1 ) ! R_nleft(xright)=fleft[x_0,x_1,cdots,x_n,xright]left(x-x_0right)left(x-x_1right)cdotsleft(x-x_nright)\=fleft[x_0,x_1,cdots,x_n,xright]prod_{i=0}^nleft(x-x_iright)=frac{f^{left(n 1right)}left(xiright)}{left(n 1right)!}prod_{i=0}^nleft(x-x_iright)\fleft[x_0,x_1,cdots,x_nright]=frac{f^{left(n 1right)}left(xiright)}{left(n 1right)!} Rn(x)=f[x0,x1,⋯,xn,x](x−x0)(x−x1)⋯(x−xn)=f[x0,x1,⋯,xn,x]i=0∏n(x−xi)=(n 1)!f(n 1)(ξ)i=0∏n(x−xi)f[x0,x1,⋯,xn]=(n 1)!f(n 1)(ξ)
二、牛顿插值公式matlab代码
友情提示：本人使用的是matlab2019b版本，并且个人很喜欢使用matlab中的实时在线脚本，很少使用脚本来编写程序。实时在线脚本脚本编译环境我个人非常喜欢，所以接下来的代码都是在实时在线脚本中实现，简要的讲一下实时在线脚本
1. matlab实时在线脚本
简要介绍一下实时在线脚本，首先打开matlab，可以看到一下界面，点击实时在线脚本
基本打开后就可以看到这样一个界面如下图所示，还有很多功能等待读者自己去体会简要概述讲到这里
给大家看一下编写代码后的部分样子，函数，代码，结果分块显示非常清晰，与脚本的区别还是很大的，大家特别注意一下脚本生成的文件为.m文件,实时在线脚本脚本为.mlx文件
2. 牛顿插值代码
下面展示牛顿插值函数代码
function [A,y]= newtonzi(X,Y,x)
% Newton插值函数
% X为已知数据点的x坐标
% Y为已知数据点的y坐标
% x为插值点的x坐标
% 函数返回A差商表
% y为各插值点函数值
n=length(X); m=length(x);
for t=1:m
z=x(t); A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';
s=0.0; y=0.0; c1=1.0;
for j=2:n
for i=j:n
A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j 1));
end
end
C=A(n,n);
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:k-1
p=p*(z-X(j));
end
s=s A(k,k)*p;
end
ss(t)=s;
end
y=ss;
A=[X',A];
end3.实例
选取的实例是以教材《数值分析》（第五版 李庆扬）第二章 插值法计算实习题题目如下：
这里先解决牛顿插值多项式，利用之前编写的牛顿插值函数
下面展示代码
x=0.2:0.2:1;
y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];
x0=[0.2 0.28 1.0 1.08];
[d,y]=newtonzi(x,y,x0) %调用牛顿插值函数运行后的结果如下 d为差商表，y为插值点 x 0 x_0 x0对应的纵坐标
在实时在线脚本中代码结果全样貌如下图所示
根据计算结果得到牛顿4次插值公式为： P 4 ( x ) = 0.98 − 0.3 ( x − 0.2 ) − 0.625 ( x − 0.2 ) ( x − 0.4 ) − 0.2083 ( x − 0.2 ) ( x − 0.4 ) ( x − 0.6 ) − 0.5208 ( x − 0.2 ) ( x − 0.4 ) ( x − 0.6 ) ( x − 0.8 ) P_4left(xright)=0.98-0.3left(x-0.2right)-0.625left(x-0.2right)left(x-0.4right)-0.2083left(x-0.2right)left(x-0.4right)left(x-0.6right)\-0.5208left(x-0.2right)left(x-0.4right)left(x-0.6right)left(x-0.8right) P4(x)=0.98−0.3(x−0.2)−0.625(x−0.2)(x−0.4)−0.2083(x−0.2)(x−0.4)(x−0.6)−0.5208(x−0.2)(x−0.4)(x−0.6)(x−0.8)
三、总结
此次内容主要讲的是牛顿插值的原理，及根据原理利用matlab编写一个通用计算公式函数，然后举例来验证代码的正确性。此次例题中提到了一个三次样条插值函数，将会放在下篇更新。本人第一次写csdn，也是第一次发表，有些地方存在问题希望读者多多指正，也感谢大家多多关注本人。 顺便问下有没有cug的校友，多支持一下。谢谢读者耐心的观看本篇文章。
四、补充
下一篇文章1 ： 数值分析（二） 三次样条插值法matlab代码 下一篇文章 2： 数值分析（二续） 三次样条插值二类边界完整matlab代码
发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/136581.html原文链接：https://javaforall.cn
