机器学习中正则化项L1和L2的直观理解

2022-09-14 11:19:03 浏览数 (1)

大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。

文章目录

  • 正则化（Regularization）
    • 稀疏模型与特征选择的关系
  • L1和L2正则化的直观理解
    • 正则化和特征选择的关系
      • 为什么梯度下降的等值线与正则化函数第一次交点是最优解？
    • L2正则化和过拟合的关系
  • 正则化参数的选择
    • L1正则化参数
    • L2正则化参数
  • Reference

正则化（Regularization）

机器学习中几乎都可以看到损失函数后面会添加一个额外项，常用的额外项一般有两种，一般英文称作 ℓ 1 ell_1 ℓ1​-norm 和 ℓ 2 ell_2 ℓ2​-norm，中文称作 L1正则化 和 L2正则化，或者 L1范数 和 L2范数。

L1正则化和L2正则化可以看做是损失函数的惩罚项。所谓『惩罚』是指对损失函数中的某些参数做一些限制。对于线性回归模型，使用L1正则化的模型建叫做Lasso回归，使用L2正则化的模型叫做Ridge回归（岭回归）。下图是Python中Lasso回归的损失函数，式中加号后面一项 α ∣ ∣ w ∣ ∣ 1 alpha||w||_1 α∣∣w∣∣1​即为L1正则化项。

下图是Python中Ridge回归的损失函数，式中加号后面一项 α ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 2 alpha||w||_2^2 α∣∣w∣∣22​即为L2正则化项。

一般回归分析中 w w w表示特征的系数，从上式可以看到正则化项是对系数做了处理（限制）。L1正则化和L2正则化的说明如下：

  • L1正则化是指权值向量 w w w中各个元素的绝对值之和，通常表示为 ∣ ∣ w ∣ ∣ 1 ||w||_1 ∣∣w∣∣1​
  • L2正则化是指权值向量 w w w中各个元素的平方和然后再求平方根（可以看到Ridge回归的L2正则化项有平方符号），通常表示为 ∣ ∣ w ∣ ∣ 2 ||w||_2 ∣∣w∣∣2​

一般都会在正则化项之前添加一个系数，Python的机器学习包sklearn中用 α alpha α表示，一些文章也用 λ lambda λ表示。这个系数需要用户指定。

那添加L1和L2正则化有什么用？下面是L1正则化和L2正则化的作用，这些表述可以在很多文章中找到。

  • L1正则化可以产生稀疏权值矩阵，即产生一个稀疏模型，可以用于特征选择
  • L2正则化可以防止模型过拟合（overfitting）；一定程度上，L1也可以防止过拟合

稀疏模型与特征选择的关系

上面提到L1正则化有助于生成一个稀疏权值矩阵，进而可以用于特征选择。为什么要生成一个稀疏矩阵？

稀疏矩阵指的是很多元素为0，只有少数元素是非零值的矩阵，即得到的线性回归模型的大部分系数都是0. 通常机器学习中特征数量很多，例如文本处理时，如果将一个词组（term）作为一个特征，那么特征数量会达到上万个（bigram）。在预测或分类时，那么多特征显然难以选择，但是如果代入这些特征得到的模型是一个稀疏模型，表示只有少数特征对这个模型有贡献，绝大部分特征是没有贡献的，或者贡献微小（因为它们前面的系数是0或者是很小的值，即使去掉对模型也没有什么影响），此时我们就可以只关注系数是非零值的特征。这就是稀疏模型与特征选择的关系。

L1和L2正则化的直观理解

这部分内容将解释为什么L1正则化可以产生稀疏模型（L1是怎么让系数等于零的），以及为什么L2正则化可以防止过拟合。

正则化和特征选择的关系

假设有如下带L1正则化的损失函数： J = J 0 α ∑ w ∣ w ∣ (1) J = J_0 alpha sum_w{|w|} tag{1} J=J0​ αw∑​∣w∣(1) 其中 J 0 J_0 J0​是原始的损失函数，加号后面的一项是L1正则化项， α alpha α是正则化系数。注意到L1正则化是权值的绝对值之和， J J J是带有绝对值符号的函数，因此 J J J是不完全可微的。机器学习的任务就是要通过一些方法（比如梯度下降）求出损失函数的最小值。当我们在原始损失函数 J 0 J_0 J0​后添加L1正则化项时，相当于对 J 0 J_0 J0​做了一个约束。令 L = α ∑ w ∣ w ∣ L = alpha sum_w{|w|} L=α∑w​∣w∣，则 J = J 0 L J = J_0 L J=J0​ L，此时我们的任务变成在 L L L约束下求出 J 0 J_0 J0​取最小值的解。考虑二维的情况，即只有两个权值 w 1 w^1 w1和 w 2 w^2 w2，此时 L = ∣ w 1 ∣ ∣ w 2 ∣ L = |w^1| |w^2| L=∣w1∣ ∣w2∣。对于梯度下降法，求解 J 0 J_0 J0​的过程可以画出等值线，同时L1正则化的函数 L L L也可以在 w 1 w 2 w^1w^2 w1w2的二维平面上画出来。如下图：

图1 L1正则化

图中等值线是 J 0 J_0 J0​的等值线，黑色方形是 L L L函数的图形。 L = ∣ w 1 ∣ ∣ w 2 ∣ L = |w^1| |w^2| L=∣w1∣ ∣w2∣，这个函数画出来就是一个方框（可以自己动手画一下）。

在图中，当 J 0 J_0 J0​等值线与 L L L图形首次相交的地方就是最优解。上图中 J 0 J_0 J0​与 L L L在 L L L的一个顶点处相交，这个顶点就是最优解。注意到这个顶点的值是 ( w 1 , w 2 ) = ( 0 , w ) (w^1, w^2) = (0, w) (w1,w2)=(0,w)。可以直观想象，因为 L L L函数有很多『突出的角』（二维情况下四个，多维情况下更多）， J 0 J_0 J0​与这些角接触的机率会远大于与 L L L其它部位接触的机率（这是很直觉的想象，突出的角比直线的边离等值线更近写），而在这些角上，会有很多权值等于0（因为角就在坐标轴上），这就是为什么L1正则化可以产生稀疏模型，进而可以用于特征选择。

而正则化前面的系数 α alpha α，可以控制 L L L图形的大小。 α alpha α越小， L L L的图形越大（上图中的黑色方框）； α alpha α越大， L L L的图形就越小，可以小到黑色方框只超出原点范围一点点，这是最优点的值 ( w 1 , w 2 ) = ( 0 , w ) (w1,w2)=(0,w) (w1,w2)=(0,w)中的 w w w可以取到很小的值。

类似地，假设有如下带L2正则化的损失函数：

J = J 0 α ∑ w w 2 (2) J = J_0 alpha sum_w{w^2} tag{2} J=J0​ αw∑​w2(2)

同样可以画出他们在二维平面上的图形，如下：

图2 L2正则化

二维平面下L2正则化的函数图形是个圆（绝对值的平方和，是个圆），与方形相比，被磨去了棱角。因此 J 0 J_0 J0​与 L L L相交时使得 w 1 w^1 w1或 w 2 w^2 w2等于零的机率小了许多（这个也是一个很直观的想象），这就是为什么L2正则化不具有稀疏性的原因，因为不太可能出现多数 w w w都为0的情况。

为什么梯度下降的等值线与正则化函数第一次交点是最优解？

评论中有人问到过这个问题，这是带约束的最优化问题。这应该是在大一的高等数学就学到知识点，因为这里要用到拉格朗日乘子。如果有这样的问题，就需要复习一下高等数学了。这里有一个比较详细的数学讲解，可以参考：带约束的最优化问题。

L2正则化和过拟合的关系

拟合过程中通常都倾向于让权值尽可能小，最后构造一个所有参数都比较小的模型。因为一般认为参数值小的模型比较简单，能适应不同的数据集，也在一定程度上避免了过拟合现象。可以设想一下对于一个线性回归方程，若参数很大，那么只要数据偏移一点点，就会对结果造成很大的影响；但如果参数足够小，数据偏移得多一点也不会对结果造成什么影响，专业一点的说法是『抗扰动能力强』。

那为什么L2正则化可以获得值很小的参数？

以线性回归中的梯度下降法为例，使用Andrew Ng机器学习的参数表示方法。假设要求解的参数为 θ theta θ， h θ ( x ) h_theta(x) hθ​(x)是我们的假设函数。线性回归一般使用平方差损失函数。单个样本的平方差是 ( h θ ( x ) − y ) 2 (h_theta(x) – y)^2 (hθ​(x)−y)2，如果考虑所有样本，损失函数是对每个样本的平方差求和，假设有 m m m个样本，线性回归的代价函数如下，为了后续处理方便，乘以一个常数 1 2 m frac{1}{2m} 2m1​：

J ( θ ) = 1 2 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 (3) J(theta) = frac{1}{2m}sum_{i=1}^{m}(h_theta(x^{(i)}) – y^{(i)})^2 tag{3} J(θ)=2m1​i=1∑m​(hθ​(x(i))−y(i))2(3)

在梯度下降算法中，需要先对参数求导，得到梯度。梯度本身是上升最快的方向，为了让损失尽可能小，沿梯度的负方向更新参数即可。

对于单个样本，先对某个参数 θ j theta_j θj​求导：

∂ ∂ θ j J ( θ ) = 1 m ( h θ ( x ) − y ) ∂ ∂ θ j h θ ( x ) (3.1) frac{partial}{partial theta_j} J(theta) = frac{1}{m} (h_theta(x) – y) frac{partial}{partial theta_j} h_theta(x) tag{3.1} ∂θj​∂​J(θ)=m1​(hθ​(x)−y)∂θj​∂​hθ​(x)(3.1)

注意到 h θ ( x ) h_theta(x) hθ​(x)的表达式是 h θ ( x ) = θ 0 x 0 θ 1 x 1 ⋯ θ n x n h_theta(x)=theta_0 x_0 theta_1 x_1 dots theta_n x_n hθ​(x)=θ0​x0​ θ1​x1​ ⋯ θn​xn​. 单个样本对某个参数 θ j theta_j θj​求导， ∂ ∂ θ j h θ ( x ) = x j frac{partial}{partial theta_j} h_theta(x) = x_j ∂θj​∂​hθ​(x)=xj​. 最终(3.1)式结果如下：

∂ ∂ θ j J ( θ ) = 1 m ( h θ ( x ) − y ) x j (3.2) frac{partial}{partial theta_j} J(theta) = frac{1}{m} (h_theta(x) – y) x_j tag{3.2} ∂θj​∂​J(θ)=m1​(hθ​(x)−y)xj​(3.2)

在考虑所有样本的情况，将每个样本对 θ j theta_j θj​的导数求和即可，得到下式：

∂ ∂ θ j J ( θ ) = 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) (3.3) frac{partial}{partial theta_j} J(theta) = frac{1}{m} sum_{i=1}^m (h_theta(x^{(i)}) – y^{(i)}) x_j^{(i)} tag{3.3} ∂θj​∂​J(θ)=m1​i=1∑m​(hθ​(x(i))−y(i))xj(i)​(3.3)

梯度下降算法中，为了尽快收敛，会沿梯度的负方向更新参数，因此在(3.3)式前添加一个负号，并乘以一个系数 α alpha α（即学习率），得到最终用于迭代计算参数 θ j theta_j θj​的形式：

θ j : = θ j − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) (4) theta_j := theta_j – alpha frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}(h_theta(x^{(i)}) – y^{(i)})x_j^{(i)} tag{4} θj​:=θj​−αm1​i=1∑m​(hθ​(x(i))−y(i))xj(i)​(4)

其中 α alpha α是学习率（learning rate）。 上式是没有添加L2正则化项的迭代公式，如果在原始代价函数之后添加L2正则化，则迭代公式会变成下面的样子： θ j : = θ j ( 1 − α λ m ) − α 1 m ∑ i = 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j ( i ) (5) theta_j := theta_j(1-alpha frac{lambda}{m}) – alpha frac{1}{m}sum_{i=1}^{m}(h_theta(x^{(i)}) – y^{(i)})x_j^{(i)} tag{5} θj​:=θj​(1−αmλ​)−αm1​i=1∑m​(hθ​(x(i))−y(i))xj(i)​(5)

其中 λ lambda λ就是正则化参数。从上式可以看到，与未添加L2正则化的迭代公式相比，每一次迭代， θ j theta_j θj​都要先乘以一个小于1的因子（即 ( 1 − α λ m ) (1-alpha frac{lambda}{m}) (1−αmλ​)），从而使得 θ j theta_j θj​不断减小，因此总的来看， θ theta θ是不断减小的。

最开始也提到L1正则化一定程度上也可以防止过拟合。之前做了解释，当L1的正则化系数很小时，得到的最优解会很小，可以达到和L2正则化类似的效果。

正则化参数的选择

L1正则化参数

通常越大的 λ lambda λ可以让代价函数在参数为0时取到最小值。因为正则化系数越大，正则化的函数图形（上文图中的方形或圆形）会向坐标轴原点收缩得越厉害，这个现象称为shrinkage，过程可以称为shrink to zero. 下面是一个简单的例子，这个例子来自Quora上的问答。为了方便叙述，一些符号跟这篇帖子的符号保持一致。

假设有如下带L1正则化项的代价函数：

F ( x ) = f ( x ) λ ∣ ∣ x ∣ ∣ 1 F(x) = f(x) lambda ||x||_1 F(x)=f(x) λ∣∣x∣∣1​

其中 x x x是要估计的参数，相当于上文中提到的 w w w以及 θ theta θ. 这个例子中的正则化函数 L L L就是 L = λ ∣ x ∣ L=lambda |x| L=λ∣x∣。注意到L1正则化在某些位置是不可导的，当 λ lambda λ足够大时可以使得 F ( x ) F(x) F(x)在 x = 0 x = 0 x=0时取到最小值。如下图：

图3 L1正则化参数的选择

作为一个直观的例子，这个图的示例中，取了 f ( x ) = ( x − 1 ) 2 f(x) = (x-1)^2 f(x)=(x−1)2作为损失函数，其实可以取更复杂的，但不好画图，不过原理是一样的，因为损失函数都是凸函数，很多性质是一样的。

正则化分别取 λ = 0.5 lambda = 0.5 λ=0.5和 λ = 2 lambda = 2 λ=2，可以看到越大的 λ lambda λ越容易使 F ( x ) F(x) F(x)在 x = 0 x=0 x=0时取到最小值。

此外也可以自己计算一下，当损失函数 f ( x ) f(x) f(x)和正则化函数 L = ∣ x ∣ L=|x| L=∣x∣在定义域内第一次相交的地方，就是整个代价函数 F ( x ) F(x) F(x)的最优解。

L2正则化参数

从公式5可以看到， λ lambda λ越大， θ j theta_j θj​衰减得越快。另一个理解可以参考图2， λ lambda λ越大，L2圆的半径越小，最后求得代价函数最值时各参数也会变得很小，同样是一个shrink to zero的过程，原理与L1正则化类似。

Reference

过拟合的解释： https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss2.html

正则化的解释： https://hit-scir.gitbooks.io/neural-networks-and-deep-learning-zh_cn/content/chap3/c3s5ss1.html

正则化的解释： http://blog.csdn.net/u012162613/article/details/44261657

正则化的数学解释（一些图来源于这里）： http://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/24971995

发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/158392.html原文链接：https://javaforall.cn

serverless 正则表达式

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