李航《统计学习方法》笔记之k近邻法

第三章 k近邻法

1.同一标签的样本通常有很多相似的特征,所以同一类别的可能有扎堆现象，也就是物以类聚。

2.每进来一个样本，我们查看它周围的样本是什么类别的，那它也有极大可能属于该类别。

距离度量Distance measure

首先令 x_{i}=left(x_{i}^{(1)}, x_{i}^{(2)}, ldots, x_{i}^{(n)}right), x_{j}=left(x_{j}^{(1)}, x_{j}^{(2)}, ldots, x_{j}^{(n)}right)

欧式距离（也称二范数）：

L_{2}left(x_{i}, x_{j}right)=left(sum_{i=1}^{n}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}right|^{2}right)^{frac{1}{2}}

曼哈顿距离（也称一范数）：

L_{1}left(x_{i}, x_{j}right)=sum_{i=1}^{n}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}right|

P范数:

L_{mathrm{p}}left(x_{i}, x_{j}right)=left(sum_{l=1}^{n}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}right|^{p}right)^{frac{1}{p}}

切比雪夫距离（类似于国际象棋的后）

当

p=infty

时, 它是各个坐标距离的最大值, 即

L_{infty}left(x_{i}, x_{j}right)=max _{l}left|x_{i}^{(l)}-x_{j}^{(l)}right|

k值的选择

k值的选择会对k近邻法的结果产生重大影响。如果选择较小的k值，就相当于用较小的邻域中的训练实例进行预测,“学习”的近似误差(approximation error)会减小，只有与输入实例较近的(相似的)训练实例才会对预测结果起作用。但缺点是“学习”的估计误差(estimation error)会增大，预测结果会对近邻的实例点非常敏感。如果邻近的实例点恰巧是噪声，预测就会出错。换句话说，k值的减小就意味着整体模型变得复杂,容易发生过拟合。

如果选择较大的k值，就相当于用较大邻域中的训练实例进行预测。其优点是可以减少学习的估计误差，但缺点是学习的近似误差会增大。这时与输入实例较远的(不相似的)训练实例也会对预测起作用，使预测发生错误。k值的增大就意味着整体的模型变得简单。

如果k =N，那么无论输入实例是什么，都将简单地预测它属于在训练实例中最多的类。这时，模型过于简单，完全忽略训练实例中的大量有用信息，是不可取的。

在应用中,k值一般取一个比较小的数值。通常采用交叉验证法来选取最优的k值。

分类决策规则

k近邻法中的分类决策规则往往是多数表决，即由输入实例的k个邻近的训练实例中的多数类决定输入实例的类。

多数表决规则(majority voting rule)有如下解释:如果分类的损失函数为0-1损失函数．分类函数为：

f: mathbf{R}^{n} rightarrowleft{c_{1}, c_{2}, cdots, c_{K}right}

那么误分类的概率是

P(Y neq f(X))=1-P(Y=f(X))

对给定的实例 x in mathcal{X} , 其最近邻的 k 个训练实例点构成集合 N_{k}(x) 。如果涵盖 N_{k}(x) 的区域的类别是 c j c_{j} cj , 那么误分类率是

frac{1}{k} sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i} neq c_{j}right)=1-frac{1}{k} sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i}=c_{j}right)

要使误分类率最小即经验风险最小, 就要使 sum_{x_{i} in N_{k}(x)} Ileft(y_{i}=c_{j}right) 最大, 所以多数表决规则等价于经验风险最小化。

注意：

Ileft(xright)

为指示函数，即x条件为真，则函数值为1，x条件为假，则函数值为0。

总结Summarization

K近邻思想:物以类聚
K近邻没有显式的训练过程（新样本与原来样本计算距离度量）
距离度量: (1)欧式距离:两点之间直线 (2)曼哈顿距离:城市街区距 (3)切比雪夫距离:棋盘距离
分类决策规则:多数表决

distance error sum

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