Description
题目链接：P5481
给定一个大小为 ntimes m 的表格，可以填入自然数 1 到 k，要求每一行数字单调不减，且任意两行不能完全相同，求方案数，答案对 p 取模。
1leq n,mleq 10^5,1leq k,p leq 2times 10^9
Solution
由于单调不降，所以相当于从 k 个数字中选择 m 个，并且可以在后面添加 m-1 个虚拟位置，表示该行第 i 个数字和第 i-1 个数字相等的情况。
那么单行的方案数就是 C_{m k-1}^m，总方案数就是 A_{C_{m k-1}^m}^n。
然后发现：C_{m k-1}^m=frac{prodlimits_{i=k}^{m k-1}i}{m!}，A_{m}^n=prodlimits_{i=m-n 1}^mi。
由于这两个式子都可以在 mathcal O(N) 时间求得，所以总复杂度为 O(N)。
Code
代码语言：javascript复制#include<bits/stdc .h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
#define gc getchar
#define D isdigit(c=gc())
#define pc(c) putchar((c))
#define min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))
#define max(x,y) ((x)>(y)?(x):(y))
using namespace std;
namespace Debug{
Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f ;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f 1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
Tp I void read(Ty& x){char c;int f=1;x=0;W(!D) f=c^'-'?1:-1;W(x=(x<<3) (x<<1) (c&15),D);x*=f;}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y){read(x),read(y...);}
Tp I void write(Ty x){x<0&&(pc('-'),x=-x,0),x<10?(pc(x '0'),0):(write(x/10),pc(x '0'),0);}
Tp I void writeln(Cn Ty& x){write(x),pc('n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=2e9 1e5 10,M=sqrt(N);
int n,m,k,P,p[M],v[M],tot,y[M];
map<int,int> r;
I void GP(){
RI i,j;for(i=2;i<M;i ) for(!v[i]&&(p[ tot]=i),j=1;j<=tot&&i*p[j]<M;j )
if(v[i*p[j]]=1,!(i%p[j])) break ;
}
I void U(RI x,CI c){
RI i;for(i=1;i<=tot&&p[i]<=x;i ) if(!(x%p[i])){
W(!(x%p[i])) y[i] =c,x/=p[i];
}if(x>1) r[x] =c;
}
I int QP(RI A,RI B){RI S=1;W(B) B&1&&(S=1LL*S*A%P),A=1LL*A*A%P,B>>=1;return S;}
I int G(){
RI i,X=1;for(i=1;i<=tot;i ) X=1LL*X*QP(p[i],y[i])%P;
for(auto j:r) X=1LL*X*QP(j.first,j.second)%P;return X;
}
int main(){
RI i,X,Y=1;for(GP(),read(n,m,k,P),i=k;i<=m k-1;i ) U(i,1);
for(i=m;i>=1;i--) U(i,-1);for(X=G(),i=X-n 1;i<=X;i ) Y=1LL*Y*i%P;
return writeln(Y),0;
}
