10213. 「一本通 6.4 例 5」Strange Way to Express Integers
题意
给定 2n 个正整数 a_1,a_2,cdots ,a_n 和 m_1,m_2,cdots ,m_n，求一个最小的正整数 x，满足 forall iin[1,n],xequiv a_i (bmod m_i )，或者给出无解。
思路
其实题意就是求出： xequiv a[1] bmod m[1] xequiv a[2] bmod m[2] dots xequiv a[n] bmod m[n] 的最小非负整数解x。 考虑将以上方程两两合并。比如方程一与方程二合并过程： x k[1]times m[1]=a[1] x k[2]times m[2]=a[2] 两式相减可得： k[1]times m[1]-k[2]times m[2]=a[1]-a[2] 那么又得到一个形式为ax by=c的方程。 a=m[1],b=m[2],c=a[1]-a[2] 通过拓展欧几里得可以求出该方程的一个解(x0,y0)。 并且可以求出它的最小非负整数解，其中x=((ctimes x0)bmod b)bmod b 所以就可以将这两个方程合为一个方程： x equiv (a[1]times a[i])bmod (m[1] a[1]times x) 所以，合并到最后只剩下一个方程，形式为xequiv a bmod b，那么这个方程的最小非负整数解为x=b。 所以最后只需要输出合并到最后的m[n]即可。
Code
代码语言：javascript复制#include<algorithm>
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#include<cstring>
#include<ctime>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
int res=0,f=1;char ch=getchar();
while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10 ch-'0',ch=getchar();
return res*f;
}
inline void write(int x){
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(x<10) putchar(x '0');
else{
write(x/10);
putchar(x '0');
}
}
void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y){
// ax by=gcd(a,b) : (x,y)
int t=0;
if(b==0) d=a,x=1,y=0;
else{
exgcd(b,a%b,d,x,y);
t=x;x=y;y=t-(a/b)*y;
}
}
int n,m[100010],a[100010],M=1,t[100010],ans;
int gcd(int a,int b){
return !b?a:gcd(b,a%b);
}
pair<int,int> solvefunction(int a,int b,int c){
int g=gcd(a,b),a1=a/g,b1=b/g,c1=c/g,x1,y1,d;
exgcd(a1,b1,d,x1,y1);
return make_pair(x1,y1);
}
namespace Function{
void solve(){
for(int i=2,x,y,d;i<=n;i ){
int C=m[i]-m[1],B=a[i],A=a[1],t=gcd(A,B);
if(C%t!=0){
puts("-1");
return ;
}
A/=t;B/=t;C/=t;
exgcd(A,B,d,x,y);
x=((C*x)%B B)%B;
m[1]=m[1] a[1]*x;
a[1]=a[1]*B;
}
write(m[1]);putchar('n');return ;
}
}
signed main(){
while(cin>>n){
for(int i=1;i<=n;i ) a[i]=read(),m[i]=read();
Function::solve();
}
return 0;
}
