Luogu 2019三月月赛 P5239 回忆京都 题解

2022-09-19 12:28:21 浏览数 (1)

Luogu 2019三月月赛 P5239 回忆京都 题解

题意

个询问，每个询问求出：

sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m C_j^i

对于60%的数据，q leq 10, nleq100,mleq100。

对于100%的数据，q leq 1000,nleq1000,mleq1000。

思路

对于60%的数据

直接暴力就好了。

预计得分：60分。

实际得分：70分。

O(∩_∩)O数据好水

直接用递归的方式记忆化求组合数。竟然可以拿70。

代码：

代码语言：javascript复制
#include<bits/stdc  .h>
#define mod 19260817
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
    char ch=getchar();int res=0,f=1;
    while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10 ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x '0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x '0');
    }
}
int a[2010][2010];
int C(int n,int m){//递归求组合数
    if(a[n][m]!=0){
        return a[n][m];
    }
    if(n<m){
        return 0;
    }
    if(n==mm==0){
        return a[n][m]=1;
    }
    if(m==1){
        a[n][m]=n%mod;
        return n%mod;
    }else{
        a[n][m]=C(n-1,m-1)%mod C(n-1,m)%mod;//C(n,m)=C(n-1,m) C(n-1,m-1)
        a[n][m]%=mod;
        return a[n][m];
    }
}
int q,n,m,ans;
signed main(){
    q=read();
    while(q--){
        n=read();m=read();ans=0;//ANS清零
        for(int i=1;i<=m;i  ){
            for(int j=1;j<=n;j  ){
                ans =C(i,j);
                ans%=mod;
            }
        }
        write(ans);putchar('n');
    }
    return 0;
}

对于100%的数据

这里就有两种解法了：

1.利用前缀和

因为有许多题解都详细讲了，比如chen_zhe的题解，所以这里就不提了。

2.利用组合数的性质

这里先摆一条组合数的性质：C(0,n) C(1,n) C(2,n) … C(n,n)=2^n

这怎么证明呢？

根据二项式定理，可得：

(1 x)^n=C(0,n) C(1,n)times x C(2,n)times x^2 … C(n,n) times x^n

令x=1，可得：

2^n=C(0,n) C(1,n) C(2,n) (3,n) … C(n,n)

证毕。

什么？你不会二项式定理？百度百科

好了，再回归题目：

sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m C_j^i
sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i-sum_{i=n 1}^m sum_{j=1}^m C_j^i

于是求解这道题就变成了求解两个子问题：

1.求解$sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i$

根据上面的组合数的性质：C(0,n) C(1,n) C(2,n) … C(n,n)=2^n

我们可以得出：

sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=1}^m [C(1,m) C(2,m) … C(m,m)]
sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=1}^m [C(0,m) C(1,m) C(2,m) … C(m,m)-C(0,m)]
sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=1}^m [2^m-C(0,m)]

那么C(0,m)=?

答案是1。

所以

sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=1}^m [2^m-1]

然后再把最外层的化开：

sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=[2^1-1] [2^2-1] … [2^m-1]
sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=2^1 2^2 … 2^m-1 times m

根据：2^0 2^1 2^2 … 2^n=2^{n 1}-1

sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=2^{m 1}-1-2^0-1 times m
sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=2^{m 1}-2-1 times m
sum_{i=1}^msum_{j=1}^m C_j^i=2^{m 1}-2-m
2.求解$sum_{i=n 1}^m sum_{j=1}^m C_j^i$
sum_{i=n 1}^m sum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=n 1}^m sum_{j=1}^i C_j^i sum_{i=n 1}^m sum_{j=i 1}^m C_j^i

又因为题目：其中当i>jC^i_j=0

并且：C(n,n)=1

所以：

sum_{i=n 1}^m sum_{j=1}^m C_j^i=sum_{i=n 1}^m {(1 sum_{j=i 1}^m C_j^i)}

于是对于每一个询问，只需要求出sum_{i=n 1}^m sum_{j=i 1}^m C_j^i即可。

汇总

好了，两个子问题都结束了。

那么对于每个询问：

sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m C_j^i=2^{m 1}-2-m-sum_{i=n 1}^m {(1 sum_{j=i 1}^m C_j^i)}
Code
代码语言：javascript复制
#include<bits/stdc  .h>
#define mod 19260817
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){//读入优化
    char ch=getchar();int res=0,f=1;
    while(ch<'0'ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9') res=res*10 ch-'0',ch=getchar();
    return res*f;
}
inline void write(int x){//输出优化
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(x<10) putchar(x '0');
    else{
        write(x/10);
        putchar(x '0');
    }
}
int a[2010][2010],pw[1010];//分别记录组合数、2的次幂
int C(int n,int m){//递归记忆化求组合数
    if(a[n][m]!=0){
        return a[n][m];
    }
    if(n<m){
        return 0;
    }
    if(n==mm==0){
        return a[n][m]=1;
    }
    if(m==1){
        a[n][m]=n%mod;
        return n%mod;
    }else{
        a[n][m]=C(n-1,m-1)%mod C(n-1,m)%mod;
        a[n][m]%=mod;
        return a[n][m];
    }
}
int q,n,m,ans;
signed main(){
    q=read();pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=1005;i  ){//预处理2^k
        pw[i]=pw[i-1]*2;pw[i]%=mod;
    }
    while(q--){
        n=read();m=read();
        ans=pw[m 1];ans-=2;ans-=m;ans =mod;ans%=mod;//子问题1
        for(int j=n 1;j<=m;j  ){//子问题2
            ans--;
            for(int i=j 1;i<=m;i  ) ans-=C(i,j),ans =mod,ans%=mod;
        }
        write(ans);putchar('n');
    }
    return 0;
}
ode sum

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