YbtOJ 735「动态树」毒瘤染色

题目链接：YbtOJ #735

对于一个无向图，若图中的每条边 至多处于一个无向环中，则称这个图为一个 毒瘤图。

小 A 有一个图 G，初始包含 n 个点，没有边。显然它是一个毒瘤图。

接下来小 A 会进行 q 次操作，每次操作给出两个正整数 x,y，要求判断往 G 中加入 (x,y) 后该图是否仍然是毒瘤图，若是则加入这条边，否则不加入。

在所有操作进行前，小 A 会确定一个非负整数 k。在每次操作后，小 A 都会针对当前图进行询问：假设初始所有点为白色，进行 k 次染色，每次等概率随机选择一个点将它染成黑色（一个点可能被重复选择多次），求 k 次染色后图中仅保留白点时的连通块个数仅保留黑点时的连通块个数的期望值（向 998244353 取模）。

为了让你有更多的得分空间，小 A 还会给定一个辅助变量 omega。若 omega=1，你需要回答上述询问。若 omega=0，对于每次询问你只需要求出仅保留白点时的连通块个数的期望值。

因为一些奇怪的原因，本题 强制在线。

1le nle10^5，1le qle 3times10^5，0le kle 10^9。

Solution

在仙人掌中，连通块个数=点数-边数环数

由于期望的线性性，E(连通块个数)=E(点数)-E(边数) E(环数)

所以将权值为 0 的点与 1 的点分开求期望即可。

下面不妨称权值为 0 为白点，1 为黑点。

点

一个点为白点概率为 (frac{n-1}n)^k。

一个点为黑点概率为 1-(frac{n-1}n)^k。

边

一条边为白边的概率为 (frac{n-2}n)^k。

一条边为黑边的概率为 1-Pr(x text{为白点})-Pr(y text{为白点}) Pr(x text{为白点且}ytext{为白点})=1-2(frac{n-1}n)^k (frac{n-2}n)^k。

环

一个大小为 m 的白环的概率为 (frac{n-m}n)^k。

一个大小为 m 的黑环的概率有两种做法：

法一：分治 NTT

设 f_i 表示大小为 i 的环在 k 次操作后全黑的概率，g_i 表示包含 i 个点的集合在 k 次操作后全白的概率。

。

f_i=1-Pr(text{不是全黑})=1-sum_{j=0}^{i-1}f_jg_{i-j}binom ij

直接分治 NTT 就可以 O(nlog^2n) 求出 f_i。

法二：容斥

f_m=sum_{i=0}^m(-1)^ibinom mi(frac{n-i}n)^k

其中 i 枚举的是环中至少有 i 个白点，由于所有环只算一次，于是这部分复杂度为 O(sum mlog k)=O(nlog k)。

Code

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#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,avx2,fma")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#include<bits/stdc  .h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define LL long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
using namespace std;
namespace Debug{
    Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
    Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f  ;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f 1,y...);}
    Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
    #define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
    #define FS 100000
    #define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI) fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA  )
    #define pc(c) (FC==FE&&(clear(),0),*FC  =c)
    int OT;char oc,FI[FS],FO[FS],OS[FS],*FA=FI,*FB=FI,*FC=FO,*FE=FO FS;
    I void clear() {fwrite(FO,1,FC-FO,stdout),FC=FO;}
    Tp I void read(Ty& x) {x=0;RI f=1;W(!isdigit(oc=tc())) f=oc^'-'?1:-1;W(x=(x<<3) (x<<1) (oc&15),isdigit(oc=tc()));x*=f;}
    Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
    Tp I void write(Ty x) {x<0&&(pc('-'),x=-x);W(OS[  OT]=x 48,x/=10);W(OT) pc(OS[OT--]);}
    Tp I void writeln(Ty x) {x<0&&(pc('-'),x=-x);W(OS[  OT]=x 48,x/=10);W(OT) pc(OS[OT--]);pc('n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=5e3 10;
int T,p,n,Ans,fac[N],ifac[N],g[N],f[N],s[N];
I int QP(RI a,RI b){if(b<0) return 0;RI s=1;W(b) b&1&&(s=1LL*s*a%p),a=1LL*a*a%p,b>>=1;return s;}
I int C(CI n,CI m){return n<m?0:1LL*fac[n]*ifac[n-m]%p*ifac[m]%p;}
int main(){
    freopen("forest.in","r",stdin),freopen("forest.out","w",stdout);
    RI i,j,o;read(T,p);for(fac[0]=1,i=1;i<N;i  ) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%p;for(ifac[N-1]=QP(fac[N-1],p-2),i=N-2;~i;i--) ifac[i]=1LL*ifac[i 1]*(i 1)%p;
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    for(g[0]=1,i=1;i<N;i  ) for(j=1;j<=i;j  ) g[i] =1LL*C(i-1,j-1)*g[i-j]%p*f[j]%p,g[i]%=p;
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        for(read(n),Ans=0,i=1;i<=n;i  ) Ans =1LL*C(n-1,i-1)*g[n-i]%p*s[i]%p,Ans%=p;
        writeln(1LL*Ans*n%p);
    }return clear(),0;
}

text

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