2022-09-19 13:48:31
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二项式系数 Binomial Coefficients
1.1 基本恒等式 Basic Identities
1.1.1 定义 Definition
binom nk 表示二项式系数,其中 n 称作上指标 (upper index),而称 k 为下指标 (lower index)。
1.1.2 对称恒等式 Symmetric Identity
证明:
1.1.3 吸收恒等式 Absorption Identity
证明:
- k> 0
- k<0
1.1.3 相伴恒等式 Companion Identity
证明:
1.1.4 加法公式 Addition Formula
证明:
1.1.5 上指标求和 Summation of Upper Indicators
证明:
利用数学归纳法。
n=0 时,左边 =binom 0m=[m=0]=binom 1{m 1}= 右边
时,
所以对一切
,(1) 成立。
1.1.6 平行求和法 Parallel Summation
证明:
注意到以上证明当且仅当 m kge 0 才可以这么做(第二行运用到对称法则),因此我们在第一步去掉了 k<-m
1.1.7 上指标反转 Upper Negation
证明:
- kge 0
- k<0
1.1.8 三项式版恒等式 Trinomial Version of Identity
证明:
,
若 m<kk<00。
1.1.9 范德蒙德卷积 Vandermonde Convolution
证明:
这里可以暂时通过组合意义来简单证明:
先从 r 个球中取 m k 个,再从 s 个球中取 n-k 个,就相当于在 r s 个球中取 m n 个。
具体严谨证明见下文——生成函数。
1.1.10 二项式定理 Binomial Theorem
特别地,
1.1.11 其他基本组合恒等式 Other Basic Combination Identities
1.2 生成函数 Generating Function
1.2.1 卷积 Convolution
由 (1) 所定义的序列 langle c_nrangle 称为序列 langle a_nrangle 和 langle b_n rangle 的卷积。
1.2.2 二项式定理与生成函数 Binomial Theorem and Generating Function
类似地,
将 (1)(2) 相乘,我们可以得到另外一个生成函数:
让这个等式两边 z^n 的系数相等就给出:
我们就发现了范德蒙德卷积。
此外我们还有一系列重要的恒等式:
当 n=0 时,我们就得到了 (4) 的特例,即几何级数:
这就是序列 langle 1,1,1,cdots rangle 的生成函数。
1.3 基本练习 Basic Practice
1.3.1 利用基本组合恒等式 Use Basic Combinatorial Identities
- 证明:sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}kbinom nk=0 (nge2)
- 证明:sum_{k=p}^nbinom nkbinom kp=binom np2^{n-p}
1.3.2 利用生成函数 Use Generating Functions
- 证明:
- sum_{k=0}^n{binom nk}^2=binom n{2n}
- sum_{k=1}^{2n-1}binom {2n}k[2 (k-1)]=frac 12{binom {4n}{2n} (-1)^{n-1}binom {2n}n}
[collapse title=”解答”] 1. 首先有:
2. 由小题 得:
其次:
由 得:
[/collapse]