YbtOJ 915「欧拉函数」欧拉欧拉
题目链接：YbtOJ #915
小 A 有两个正整数 n,k。
规定一个正整数序列 a 是合法的，当且仅当它的长度为 k，且序列中的每一个 a_i 都小于等于 n。
由于小 A 特别喜欢欧拉，他定义一个序列 a 的权值 F(a)=phi(operatorname{lcm}(a_1,a_2,cdots,a_k))。
现在，小 A 希望你求出 所有合法序列的权值之积 在模 10^9 7 意义下的值。
1le n,kle 10^6。
Solution
题目即求：
把欧拉函数拆开，不妨以每个质数
显然有 p^coperatorname{lcm} 且 p^{c 1}operatorname{lcm}。
我们又知道：
- 考虑 (p-1) 的贡献，由于若 exists jin [1,n], pi_j，则该贡献就会被乘上，于是它的总贡献为：(p-1)^{n^k-(n-lfloor frac np rfloor)^k}。
- 考虑 p^{c-1} 的贡献，考虑暴枚 c，显然时间复杂度为 log 左右的，可以接受，总贡献为：prod_{jge 2land p^j leq n}p^{n^k-(n-lfloor frac n{p^j} rfloor)^k}。
Code
代码语言：javascript复制#pragma GCC optimize("Ofast")
#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4,popcnt,abm,mmx,avx,avx2,fma")
#pragma GCC optimize("unroll-loops")
#include<bits/stdc .h>
#define Tp template<typename Ty>
#define Ts template<typename Ty,typename... Ar>
#define W while
#define I inline
#define RI register int
#define int long long
#define Cn const
#define CI Cn int&
using namespace std;
namespace Debug{
Tp I void _debug(Cn char* f,Ty t){cerr<<f<<'='<<t<<endl;}
Ts I void _debug(Cn char* f,Ty x,Ar... y){W(*f!=',') cerr<<*f ;cerr<<'='<<x<<",";_debug(f 1,y...);}
Tp ostream& operator<<(ostream& os,Cn vector<Ty>& V){os<<"[";for(Cn auto& vv:V) os<<vv<<",";os<<"]";return os;}
#define gdb(...) _debug(#__VA_ARGS__,__VA_ARGS__)
}using namespace Debug;
namespace FastIO{
#define FS 100000
#define tc() (FA==FB&&(FB=(FA=FI) fread(FI,1,FS,stdin),FA==FB)?EOF:*FA )
#define pc(c) (FC==FE&&(clear(),0),*FC =c)
int OT;char oc,FI[FS],FO[FS],OS[FS],*FA=FI,*FB=FI,*FC=FO,*FE=FO FS;
I void clear() {fwrite(FO,1,FC-FO,stdout),FC=FO;}
Tp I void read(Ty& x) {x=0;RI f=1;W(!isdigit(oc=tc())) f=oc^'-'?1:-1;W(x=(x<<3) (x<<1) (oc&15),isdigit(oc=tc()));x*=f;}
Ts I void read(Ty& x,Ar&... y) {read(x),read(y...);}
Tp I void write(Ty x) {x<0&&(pc('-'),x=-x);W(OS[ OT]=x 48,x/=10);W(OT) pc(OS[OT--]);}
Tp I void writeln(Ty x) {x<0&&(pc('-'),x=-x);W(OS[ OT]=x 48,x/=10);W(OT) pc(OS[OT--]);pc('n');}
}using namespace FastIO;
Cn int N=1e6 10,mod=1e9 7;
int n,k,Mul,p[N],cnt,v[N],Ans=1;
I void Pre(){RI i,j;for(i=2;i<=n;i ) for(!v[i]&&(p[ cnt]=i),j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j ) if(v[i*p[j]]=1,!(i%p[j])) break ;}
I int QP(RI a,RI b,CI p){a%=p;RI s=1;W(b) b&1&&(s=1LL*s*a%p),a=1LL*a*a%p,b>>=1;return s;}
I int Phi(RI x){
RI i,X=x;for(i=2;i*i<=x;i ) if(!(x%i)){
X=X/i*(i-1);W(!(x%i)) x/=i;
}x>1&&(X=X/x*(x-1));return X;
}
signed main(){
freopen("euler.in","r",stdin),freopen("euler.out","w",stdout);
RI i,j,phi;for(read(n,k),Pre(),phi=Phi(mod),i=1;i<=cnt;i ){
Ans=1LL*Ans*QP(p[i]-1,(QP(n,k,phi) phi-QP(n-(n/p[i]),k,phi))%phi,mod)%mod;
for(j=n/p[i]/p[i];j;j/=p[i]) Ans=1LL*Ans*QP(p[i],(QP(n,k,phi) phi-QP(n-j,k,phi))%phi,mod)%mod;
}return writeln(Ans),clear(),0;
}
