大家好，又见面了，我是你们的朋友全栈君。
泰勒公式（Taylor Series）能把大多数的函数展开成幂级数，即
f(x) = displaystyle{ sum_{n=0}^{infty}A_n x^n }
式子当中只有加法与乘法，容易求导，便于理解与计算。这种特性使得泰勒公式在数学推导（如：微分方程以幂级数作为解），数值逼近（如：求e、开方），函数逼近（在计算机某些计算优化时，可以把某些繁琐的式子进行泰勒展开，仅保留加法与乘法运算），复分析等多种应用中有广泛应用。
泰勒公式定义
条件：有实函数f，f在闭区间[a,b]是连续的，f在开区间(a,b)是n 1阶可微。
则可以对函数f进行泰勒展开：
begin{align*}f(x)&= frac{1}{0!}f(x_0) \& frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \& frac{1}{2!}(x-x_0)^2f”(x_0) \& cdot cdot cdot \& frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \& R_nend{align*}
其中x_0为区间(a,b)中的某一点， x_0 in (a,b)，变量x也在区间(a,b)内。
泰勒展开得到的是一个多项式，可以写成
f(x) = displaystyle{ sum_{k=0}^{n}frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x) R_n }
其中R_n为泰勒公式的余项（Remainder）。该余项可以写成以下形式
R_n = displaystyle{ int_{x_0}^x frac{f^{(n 1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt }
余项R_n还可以进一步表示成：存在一点x_0<xi<x
R_n = frac{f^{(n 1)}(xi)}{(n 1)!}(x-x_0)^{n 1}
泰勒公式推导
泰勒公式推导的起点为微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）：
displaystyle{ int_{x_0}^x f'(t)dt } = f(x) – f(x_0)
因此有：
displaystyle{ f(x) = f(x_0) int_{x_0}^x f'(t)dt }
然后用分部积分法(Integration by parts)对积分部分进行分解:
begin{align*}f(x)&=color{red}{f(x_0) int_{x_0}^x f'(t)dt} \&=f(x_0) left. tf'(t)right|_{x_0}^x – int_{x_0}^x tf”(t)dt qquad udv = uv – vdu \&=f(x_0) xf'(x) – x_0f'(x_0) – int_{x_0}^x tf”(t)dt \&=f(x_0) xleft( f'(x_0) int_{x_0}^x f”(t)dt right ) – x_0f'(x_0) – int_{x_0}^x tf”(t)dt \&qquad Fundamental Theorem of Calculus\&=color{red}{f(x_0) (x-x_0)f'(x_0) int_{x_0}^x (x-t)f”(t)dt} \&=f(x_0) (x-x_0)f'(x_0) left.(xt – frac{1}{2}t^2)f”(t)right|_{x_0}^x – int_{x_0}^x(xt – frac{1}{2}t^2) f”'(t)dt qquad udv = uv – vdu \&=f(x_0) (x-x_0)f'(x_0) frac{x^2}{2}f”(x) frac{-2x_0x {x_0}^2}{2}f”(x_0) – int_{x_0}^xfrac{2xt-t^2}{2} f”'(t)dt \&=f(x_0) (x-x_0)f'(x_0) frac{x^2}{2}left( f”(x_0) int_{x_0}^x f”'(t)dt right ) frac{-2x_0x {x_0}^2}{2}f”(x_0) \&quad int_{x_0}^xfrac{-2xt t^2}{2} f”'(t)dt quad Fundamental Theorem of Calculus\&=color{red}{f(x_0) (x-x_0)f'(x_0) frac{(x-x_0)^2}{2}f”(x_0) int_{x_0}^xfrac{(x-t)^2}{2} f”'(t)dt}end{align*}
运用微积分基本定理以及分部积分法继续推导下去可以得到：
begin{align*}f(x)&= frac{1}{0!}f(x_0) \& frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \& frac{1}{2!}(x-x_0)^2f”(x_0) \& cdot cdot cdot \& frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^{(n)}(x_0) \& int_{x_0}^x frac{f^{(n 1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt qquad *end{align*}
由此得到余项
R_n = int_{x_0}^x frac{f^{(n 1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt
泰勒公式余项推导
泰勒公式的余项能写成多种形式，我们这里只对它的拉格朗日（Lagrange）形式进行推导
拉格朗日余项为：存在一点x_0<xi<x
R_n = frac{f^{(n 1)}(xi)}{(n 1)!}(x-x_0)^{n 1}
推导过程如下：
令
begin{align*}F(x)&= frac{1}{0!}f(x_0) \& frac{1}{1!}(x-x_0)f'(x_0) \& frac{1}{2!}(x-x_0)^2f”(x_0) \& cdotcdotcdot \& frac{1}{n!}(x-x_0)^nf^n(x_0) end{align*}
那么就有
R_n(x) = f(x) – F(x)
由于f(x)与F(x)在区间(a,b)上都有n 1阶导，因此R_n(x)在此区间上也有n 1阶导。
又因为R_n(x) = int_{x_0}^x frac{f^{(n 1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt ，因此有
R_n(x_0) = R’_n(x_0)=R”_n(x_0) = … = R_n^{(n)}(x_0) = R_n^{(n 1)}(x_0) = 0
对函数R_n(x)以及函数G(x) = (x-x_0)^{n 1}应用柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem)，得到:
存在一点xi_1 in (x_0,x)，使得下面的等式成立
frac{R’_n(xi_1)}{G'(xi_1)} = frac{R_n(x) – R_n(x_0)}{G(x) – G(x_0)}
等号左边展开后为frac{R’_n(xi_1)}{(n 1)(xi_1-x_0)^n}，等号右边为frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n 1}}，即
frac{R’_n(xi_1)}{(n 1)(xi_1 – x_0)^n} = frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n 1}}
现在注意等号左边，把左边当作对R’_n(x)与(n 1)(x-x_0)^n在区间(x_0,xi_1)应用柯西中值定理，得到
存在一点xi_2 in (x_0,xi_1)，使得下面的等式成立
frac{R’_n(xi_1)}{(n 1)(xi_1-x_0)^n} = frac{R’_n(xi_1)-R’_n(x_0)}{(n 1)(xi_1-x_0)^n-0}=frac{R”_n(xi_2)}{n(n 1)(xi_2-x_0)^{n-1}}
按照这种方法继续推导下去，经过n 1次后得到
frac{R_n(x)}{(x-x_0)^{n 1}} = frac{R^{n 1}_n(xi)}{(n 1)!} qquad ( xiin (x_0,xi_n) , thus xi in (x_0,x) )
另外，可以看到R_n^{(n 1)}(x)=left( f(x)-F(x) right)^{(n 1)}=f^{(n 1)}(x)，代入上面的式子得到
R_n(x) = frac{f^{(n 1)}(xi)}{(n 1)!}(x-x_0)^{n 1} qquad xi in (x_0,x)
泰勒级数(Taylor Series)
按照上述泰勒公式，如果f(x)在x_0处无限可导，那么泰勒公式则变为
f(x) = displaystyle{sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n R_{infty} }
其中幂级数（Power Series）
displaystyle{sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n}
称为f(x)在点x_0处的泰勒级数。
泰勒级数的收敛性分析
泰勒级数在实数域上的收敛性分析
如果函数f(x)在包含x_0的区间(a,b)上无限可导，那么对于所有x in (a,b)，f(x)能展开成泰勒级数的条件就是余项在无穷处趋于0，即
displaystyle{f(x) = sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n quad Leftrightarrow quad lim_{ntoinfty}R_n(x) = 0 }
更进一步分析，在泰勒公式时有余项
R_n(x) = frac{f^{(n 1)}(xi_{n 1})}{(n 1)!}(x-x_0)^{n 1} qquad , qquad let xi_{n 1} = xi
在其前一步，有
R_{n-1}(x) = frac{f^{(n)}(xi_n)}{(n)!}(x-x_0)^{n}
两者相比，得
frac{R_{n}(x)}{R_{n-1}(x)} = frac{f^{(n 1)} (xi_{n 1})(x-x_0)}{f^{(n)}(xi_{n})(n 1) }
只有left| frac{R_n(x)}{R_{n-1}(x)} right| < 1
left| frac{f^{(n 1)} (xi_{n 1})(x-x_0)}{f^{(n)}(xi_{n})(n 1) } right| < 1
|x-x_0| < left| frac{ f^{(n)}(xi_{n})(n 1) }{ f^{(n 1)}(xi_{n 1}) } right|
否则表明余项在变大。
对于泰勒级数来说，如果在n趋向于infty时，余项一直在变大，那么表明泰勒级数会越来越远离原来的函数。
泰勒级数近似值选取
从上述不等式还可以看出，在求某个点x=x_1的近似值时，x_1与x_0的距离越近，则余项越小，表明误差越小。
也可以参考某乎上的一篇不错的文章。该文章中提到的复数域在下一节有详细推导。
泰勒级数在复数域上的收敛性分析
如在实数域收敛分析的时候描述，函数能够展开成泰勒函数的条件是余项在infty处可以收敛。实数域毕竟也只是复数域的一部分，从复数域来分析能帮助我们了解泰勒级数的全貌。
复数平面的泰勒级数（Taylor Series in Complex Plane）
复数域的泰勒级数的结构跟实数的泰勒级数一样，只是把函数从实数往复数转变，即
displaystyle{ f(z) =sum_{n=0}^{infty}frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(x-x_0)^n}
其中函数f为从复数到复数的映射f: mathbb{C} to mathbb{C}，常数为复数z_0 in mathbb{C}，变量为复数z in mathbb{C}。该式子可以简化为：
displaystyle{ f(z) = sum_{n=0}^{infty}c_n(z-a)^n } qquad,qquad z,a,c_ninmathbb{C}
收敛圆（Disk of Convergence）
从定义上来说，在复数平面上，如果泰勒级数在某一点z’趋于infty，那么就可以说泰勒级数f(z’)是发散（diverge）的，否则为收敛（converge）。
如果泰勒级数在某有限点处发散的话，那么该泰勒级数的收敛域成一个圆盘（disk）状，称为收敛圆（Disk of Convergence）。该收敛圆的边界与圆心a的距离称为收敛半径（Radius of Convergence）r。这是泰勒级数的一个特性，下面我们将证明泰勒级数具有这种特性。
证明：
假设泰勒级数在有限点z处收敛，即有
displaystyle{ sum_{n=0}^{infty}c_n(z-a)^n } < infty qquad , qquad for |z|<infty
泰勒级数为无限项求和，因此我们能通过根值判别法（Root test）来分析泰勒级数的收敛性。把c_n(z-a)^n 看作一个整体，即
A_n = c_n(z-a)^n
那么泰勒级数变成displaystyle{ sum_{n=0}^{infty}A_n }，根据Root test，有
displaystyle{ C = limsup_{nto infty} sqrt[n]{ |A_n| } = limsup_{nto infty} sqrt[n]{ |c_n(z-a)^n| } = limsup_{nto infty} sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| }
limsup表示的是上极限，displaystyle{ limsup_{ntoinfty} }表示的是当n在无穷远处的上极限。Root test表明了当C<1C>1C=1时，泰勒级数可能收敛或者发散。
我们上面假设泰勒级数在点z处收敛，即
displaystyle{ C = limsup_{nto infty} sqrt[n]{ |c_n| }|z-a| < 1 }
displaystyle{ |z – a| < frac{1}{limsup_{ntoinfty}sqrt[n]{c_n} } }
上面的式子意味着，要使得泰勒级数收敛，z与点a的距离必须小于
displaystyle{r = frac{1}{limsup_{ntoinfty}sqrt[n]{c_n} } }
对于泰勒级数来说，a为选定的无限可导的一点，可以看作圆心，那么收敛域就是一个圆盘，圆盘的半径为r。当r = 1/0时，意味着半径无穷大，即泰勒级数在整个复数平面上都收敛。
收敛半径(Radius of Convergence)求解
在前面证明的时候我们算出了泰勒级数的收敛半径为
displaystyle{r = frac{1}{limsup_{ntoinfty}sqrt[n]{c_n} } }
这看起来不太好计算，下面有另外一种计算方式：
根据比式判别法（Ratio test），只有当下面的式子成立时，泰勒级数收敛
displaystyle{ lim_{ntoinfty}frac{|A_{n 1}|}{|A_n|} = lim_{ntoinfty}frac{|c_{n 1}(z-a)^{n 1}|}{|c_n(z-a)^n|} = lim_{ntoinfty}frac{|c_{n 1}(z-a)|}{c_n} < 1 }
因此有
r = displaystyle{ lim_{ntoinfty}left| frac{c_n}{c_{n 1}} right| = lim_{ntoinfty}left| frac{f^{(n)}(a)(n 1)}{f^{(n 1)}(a)} right| }
泰勒级数与原函数的关系
从复数平面上看，泰勒级数是从选定的某点a起，通过ntoinfty不断拟合原函数f的一种方式，这种拟合的展开是圆心a对称的。因此，如果原函数f有奇点（singularity：如frac{1}{0}），并且距离a最近的奇点为b，那么泰勒级数为了拟合原函数，会在b点处趋于infty，即在b处发散，又由于泰勒级数自身的收敛圆特性，使得泰勒级数无法在收敛圆以外拟合原函数，收敛半径为|b-a|。
这也意味着，如果泰勒级数的收敛半径无穷大，那么泰勒级数就能在复数平面上完全拟合原函数，因此泰勒级数等于原函数。
例：
f(x) = frac{1}{x}，选取a = 4为无限求导点。当泰勒级数取前50阶时，可以看到：
在实数域，泰勒级数会在(0,8)收敛
在复数平面，泰勒级数会以a = 4 0i为圆心，收敛半径为r=4
Mathematica Script
代码语言：javascript复制(* Real Domain *)
a = 4;
g[x_] := 1/x;
h[x_, n_] := Normal[Series[g[x], {x, a, n}]];
Manipulate[
Plot[{g[x], Evaluate[h[x, n]]}, {x, -20, 20}, PlotRange -> 4,
PlotLegends -> "Expressions"], {n, 1, 60, 1}]
(* Complex Plane *)
ComplexFnPlot[f_, range_, options___] :=
Block[{rangerealvar, rangeimagvar, g},
g[r_, i_] := (f /. range[[1]] :> r I i);
Plot3D[
Abs[g[rangerealvar, rangeimagvar]], {rangerealvar, Re[range[[2]]],
Re[range[[3]]]}, {rangeimagvar, Im[range[[2]]], Im[range[[3]]]},
options,
ColorFunction -> (Hue[Mod[Arg[g[#1, #2]]/(2*Pi) 1, 1]] &),
ColorFunctionScaling -> False]];
ComplexFnPlot[h[z, 50], {z, -10 - 10 I, 10 10 I},
PlotRange -> {-4, 500}]发布者：全栈程序员栈长，转载请注明出处：https://javaforall.cn/167465.html原文链接：https://javaforall.cn
