武忠祥老师每日一题｜第240

题目240

若

limlimits_{xto0}bigg(dfrac{ln(x sqrt{x^2 1}) ax^2 bx^3}{x}bigg)^{dfrac{1}{x^2}}=e^2

,求

a,b

的值

解答

[ begin{aligned} & limlimits_{xto0}bigg(dfrac{ln(x sqrt{x^2 1}) ax^2 bx^3}{x}bigg)^{dfrac{1}{x^2}} \\ =& limlimits_{xto0}e^{dfrac{ln(x sqrt{x^2 1}) ax^2 bx^3 - x}{x^3}} \\ end{aligned} ]

已知：

[ (1 x^2)^{-frac{1}{2}} sim 1 - dfrac{1}{2}x^2 o(x^2) ]

两侧取积分：

[ ln(x sqrt{x^2 1}) sim x - dfrac{1}{6}x^3 o(x^3) ]

故可对原式进行 泰勒展开：

[ limlimits_{xto0}e^{dfrac{x - frac{1}{6}x^3 ax^2 bx^3 - x}{x^3}} ]

极限存在，故

a = 0, b = dfrac{13}{6}

题目241

已知常数

a>0

，

bcne0

，使得

limlimits_{xto infty}[x^aln(1 dfrac{b}{x}) - x]=c

，求

a,b,c

解答

不妨先 倒代换，令

t = dfrac{1}{x}

，然后直接 泰勒展开

[ lim_{tto0^ } dfrac{ln(1 bt) - t^{a - 1}}{t^a} = lim_{tto0^ } dfrac{bt - dfrac{b^2}{2}t^2 - t^{a - 1} o(t^2)}{t^a} =c ]

a lt 2

时：极限不存在

a = 2

时：要使极限存在，

b - 1 = 0

，此时

c = -dfrac{1}{2}

a > 2

时，极限不存在

综上所述

a = 2, b = 1, c = -dfrac{1}{2}

题目242

当

xto0

时，

displaystyleint_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt

是

x^7

的几阶无穷小

解答

当

xto0

时，我们可以先用 变上限积分被积函数等价无穷小 的方法，化简 被积函数

[ displaystyleint_0^{x^2}(e^{t^3}-1)dt sim int_0^{x^2} t^3 dt ]

然后直接把这个积分解出来：

displaystyleint_0^{x^2} t^3 dt = dfrac{1}{4} x^8

故可知，该函数是

x^7

的 高阶无穷小

题目243

当

xto0^

时，求出下列无穷小量的最高阶：

[ begin{matrix} displaystyleint_0^x(e^{t^2} - 1)dt & &displaystyleint_0^xln(1 sqrt{t^3})dt\\ displaystyleint_0^{sin x}sin t^3dt & &displaystyleint_0^{1-cos x}sqrt{sin^3t}dt\ end{matrix} ]

解答

当

xto0^

时：

[ displaystyleint_0^x(e^{t^2} - 1)dt sim displaystyleint_0^xt^2dt = dfrac{1}{3}x^3 ]

[ displaystyleint_0^xln(1 sqrt{t^3})dt sim displaystyleint_0^x t^{frac{3}{2}}dt = dfrac{2}{5} x^{frac{5}{2}} ]

[ displaystyleint_0^{sin x}sin t^3dt sim displaystyleint_0^{x}t^3dt = dfrac{1}{4} x^4 ]

[ displaystyleint_0^{1-cos x}sqrt{sin^3t}dt sim displaystyleint_0^{frac{1}{2}x^2}x^{frac{3}{2}}dt = dfrac{sqrt{2}}{20} x^5 ]

故最高阶的为

displaystyleint_0^{1-cos x}sqrt{sin^3t}dt

题目244

已知

a,b

为常数，若

(1 dfrac{1}{n})^n-e

与

dfrac{b}{n^a}

在

ntoinfty

时是等价无穷小，求

a,b

解答

数列问题，却要求等价无穷小，不妨先 连续化 转为 函数问题，再用 海涅定理 证明

[ begin{aligned} & lim_{ntoinfty} dfrac{(1 dfrac{1}{n})^n - e}{dfrac{b}{n^a}} xlongequal{text{连续化}} lim_{xto infty} dfrac{(1 dfrac{1}{x})^x - e}{dfrac{b}{x^a}} \\ xlongequal{text{倒代换}} & lim_{xto0^ } dfrac{(1 x)^frac{1}{x} - e}{bx^a} = lim_{xto0^ } dfrac{e^{frac{ln(1 x)}{x}} - e}{bx^a} \\ =& elim_{xto0^ } dfrac{e^{frac{ln(1 x) - x}{x}} - 1}{bx^a} = elim_{xto0^ } dfrac{ln(1 x)-x}{bx^{a 1}} \\ =& -dfrac{e}{2b}lim_{xto0^ } dfrac{x^2}{x^{a 1}} end{aligned} ]

由 海涅定理 可知，原 数列极限 与 函数极限 收敛到同一个值

故该极限值为

，得

a = 1, b = -dfrac{2}{e}

题目245

当

xto0

时，求下列无穷小量中最高阶

（A）

(1 x)^{x^2}-1

（B）

e^{x^4-2x}-1

（C）

displaystyleint_0^{x^2}sin t^2dt

（D）

sqrt{1 2x} - sqrt[3]{1 3x}

解答

这是一到纯口算题，没什么要点

A选项

(1 x)^{x^2}-1 sim x^3

为3阶

B选项

e^{x^4-2x}-1 sim e^{4} - 2x sim -2x

为1阶

C选项

displaystyleint_0^{x^2}sin t^2dt sim int_0^{x^2}t^2dt = dfrac{1}{3} x^6

为6阶

D选项

sqrt{1 2x} - sqrt[3]{1 3x} = -dfrac{1}{8}x^2 dfrac{1}{18}x^2

为2阶

故选 C

题目246

当

xto0^

时，下列无穷小量中最高阶的是（）

displaystyleint_0^{1-cos x}frac{sin t}{t}dtquadquadquadquadquad

displaystyleint_0^{x}ttansqrt{x^2-t^2}dt

displaystyleint_{sin x}^{1-sqrt{cos x}}e^{xt}ln(1 t^3)dtquad

displaystyleint_{sin x}^{x}sqrt{sin^3t}dt

解答

A选项

displaystyleint_0^{1-cos x}frac{sin t}{t}dt sim displaystyleint_0^{frac{1}{2}x^2}dt = dfrac{1}{2}x^2

B选项

令

sqrt{x^2 - t^2} = u

，则

displaystyleint_0^{x}ttansqrt{x^2-t^2}dt = -displaystyleint_0^{x}utan udu sim -int_0^x u^2 du = -dfrac{1}{3}x^3

C选项

用第一积分中值定理，提出

e^{xt}

项

displaystyleint_{sin x}^{1-sqrt{cos x}}e^{xt}ln(1 t^3)dt = e^{xxi}displaystyleint_{sin x}^{1-sqrt{cos x}}ln(1 t^3)dt sim e^{xxi}displaystyleint_{sin x}^{1-sqrt{cos x}}t^3dt

e^{xxi}displaystyleint_{sin x}^{1-sqrt{cos x}}t^3dt sim dfrac{1}{4} e^{x^2} [(1-sqrt{cos x})^4 - sin^4 x] sim dfrac{1}{4}x^4

D选项

displaystyleint_{sin x}^{x}sqrt{sin^3t}dt = int_{sin x}^{x}t^{frac{3}{2}}dt = xi^{frac{3}{2}} (x - sin x)

由于

sin x < xi < x quad Rightarrow quad dfrac{sin x}{x} < dfrac{xi}{x} < dfrac{x}{x}

不等号两侧取极限，可知

limlimits_{xto 0} dfrac{xi}{x} = 1 Rightarrow xi sim x

xi^{frac{3}{2}} (x - sin x) sim x^{frac{3}{2}} cdot dfrac{1}{6}x^3 = frac{1}{6}x^{frac{9}{2}}

综上所述，选 D

题目247

设

xto a

时，

f(x)

与

g(x)

分别是

x-a

的

阶与

阶无穷小，则下列命题

f(x)g(x)

是

x-a

的

n m

阶无穷小

n > m

，

frac{f(x)}{g(x)}

是

x-a

的

n-m

阶无穷小

n le m

，则

f(x) g(x)

是

x-a

的

阶无穷小

f(x)

连续，则

int_a^x f(t)dt

是

x-a

的

n 1

阶无穷小

中，正确的个数是（）

解答

由题干可知：

fsim (x-a)^n, g sim (x - a)^m

(A)选项

因式考虑直接使用等价无穷小：

[ f cdot g sim (x - a)^{n m} ]

故正确

(B)选项

因式考虑直接使用等价无穷小：

[ dfrac{f}{g} sim (x - a)^{n - m} ]

故正确

(C)选项

错误，因为如果他们是同阶无穷小，可能是相反数，一加变成

了

考虑构造反例：

f(x) = (x-a)^n , g(x) = -(x - a)^n

则：

f g = 0

(D)选项

不妨用 洛必达 去验证

[ lim_{xto a}frac{displaystyleint_a^xf(t)dt}{(x - a)^{n 1}} = lim_{xto a}frac{f(x)}{(n 1)(x - a)^{n}} = dfrac{1}{n 1} ]

故正确

因此正确的选项为 A,B,C

题目248

设

f(x)

连续，且

limlimits_{xto0^ }dfrac{f(x)}{x}=1,alpha(x)=displaystyleint_0^{sqrt{x}}dfrac{ln(1 t^4)}{f(t)}dt

beta(x)=displaystyleint_0^{sin x}frac{sqrt{1 t^3}-1}{f(t)}dt

，则当

xto0^

时，

alpha(x)

是

beta(x)

的几阶无穷小

解答

由

f(x)

连续，且

limlimits_{xto0^ }dfrac{f(x)}{x}=1

，可知：

limlimits_{xto0} f(x) = f(0) = 0, f'(0) = 1, f(x) sim x

[ alpha sim int_0^{sqrt{x}} t^3 dt = dfrac{1}{4}x^2 ]

[ beta sim int_0^x dfrac{t^2}{2} dt = dfrac{1}{6} x^3 ]

故

alpha

是

beta

的 低阶无穷小

题目249

当

xto0

时，

2arctan x - lndfrac{1 x}{1-x}

是

的

阶无穷小，求

的值

解答

[ arctan x = x - dfrac{1}{3}x^3 o(x^4) ]

[ ln(1 x) = x - dfrac{1}{2}x^2 dfrac{1}{3}x^3 - dfrac{1}{4}x^4 o(x^4) ]

[ ln(1 - x) = - x - dfrac{1}{2}x^2 - dfrac{1}{3}x^3 - dfrac{1}{4}x^4 o(x^4) ]

[ 2arctan x - lndfrac{1 x}{1-x} = (2 - 1 - 1)x (dfrac{1}{2} - dfrac{1}{2})x^2 (-dfrac{2}{3} - dfrac{1}{3} - dfrac{1}{3})x^3 = -dfrac{4}{3}x^3 ]

故

n = 3

题目250

当

xto 0^

时，

(1 x)^{frac{1}{x}} - (e ax bx^2)

是比

x^2

高阶的无穷小，求

a,b

的值

解答

简单推导：

[ ln(1 x) - x = -dfrac{1}{2}x^2 dfrac{1}{3}x^3 - dfrac{1}{4}x^4 o(x^4) ]

[ dfrac{ln(1 x) - x}{x} = -dfrac{1}{2}x dfrac{1}{3}x^2 - dfrac{1}{4}x^3 o(x^3) ]

[ e^x - 1 = x dfrac{1}{2}x^2 dfrac{1}{6}x^3 o(x^3) ]

[ e^{dfrac{ln(1 x) - x}{x}} - 1 = (-dfrac{1}{2})x (dfrac{1}{3} dfrac{1}{8})x^2 o(x^2) = -dfrac{1}{2}x dfrac{11}{24}x^2 o(x^2) ]

由于

e cdot [e^{dfrac{ln(1 x) - x}{x}} - 1] - ax - bx^2

是

o(x^2)

故

a = -dfrac{1}{2}e

，

b = dfrac{11}{24}e

题目251

设函数

f(x)=dfrac{sin x}{1 x^2}

在

x=0

处的

次泰勒多项式为

ax bx^2 cx^3

，求参数

a,b,c

解答

简单推导：

[ begin{aligned} sin x &= x - dfrac{1}{6}x^3 o(x^3) \\ dfrac{1}{1 x^2} &= 1 - x^2 x^4 o(x^4) \\ dfrac{sin x}{1 x^2} &= [x - dfrac{1}{6}x^3 o(x^3)] cdot [1 - x^2 x^4 o(x^4)] = x - dfrac{7}{6}x^3 o(x^3) end{aligned} ]

故

a = 1, b = 0, c = -dfrac{7}{6}

题目252

设函数

f(x)=sec x

在

x=0

处的

次泰勒多项式为

1 ax bx^2

，求参数

a,b

解答

直接具体展开不太容易，考虑使用抽象展开式，再利用 算两次 的思想，令 系数相等

泰勒在

x = 0

的抽象展开式:

[ f(x) = f(0) f'(0)x dfrac{f''(0)}{2}x^2 o(x^2) ]

[ begin{aligned} f(0) &= sec 0 = 1 \\ f'(0) &= tan 0 sec 0 = 0 \\ f''(0) &= sec^3 0 tan^2 0 sec 0 = 1 \\ end{aligned} ]

故

a = 0, b = dfrac{1}{2}

题目253

求函数

f(x) = dfrac{(x 1)|x-1|}{e^{frac{1}{x-2}}ln|x|}

的可去间断点的个数

解答

无定义点：

x = 2, x = 1, x = -1, x = 0

，故只需研究这四点即可

x = 0:

limlimits_{x to 0} dfrac{(x 1)|x-1|}{e^{frac{1}{x-2}}ln|x|} = sqrt{e}limlimits_{x to 0} dfrac{1}{ln|x|} = 0 quad Rightarrow quad x=0

是 可去间断点

x = 1:

limlimits_{x to 1} dfrac{(x 1)|x-1|}{e^{frac{1}{x-2}}ln|x|} = 2e cdot limlimits_{x to 1} dfrac{|x-1|}{x - 1} quad Rightarrow quad x=1

是 跳跃间断点

x = -1:

limlimits_{x to -1} dfrac{(x 1)|x-1|}{e^{frac{1}{x-2}}ln|x|} = -2e cdot limlimits_{x to -1} dfrac{(x 1)}{x 1} = -2e quad Rightarrow quad x=1

是 可去间断点

x = 2:

limlimits_{x to 2} dfrac{(x 1)|x-1|}{e^{frac{1}{x-2}}ln|x|} = dfrac{3}{ln 2}limlimits_{x to 2} e^{frac{-1}{x-2}}

limlimits_{x to 2^ } e^{frac{-1}{x-2}} = 0

，

limlimits_{x to 2^-} e^{frac{-1}{x-2}} = infty

，故

x = 2

是 第二类间断点

故 可去间断点 数量为

题目254

设

f(x)

和

varphi(x)

在

(-infty, infty)

内有定义，

f(x)

为连续函数，

varphi(x)

有间断点，则下列命题:

f(x)Big[|varphi(x)| varphi^2(x)Big]

必有间断点

f(x)

单调，则

dfrac{varphi(x)}{|f(x)|}

必有间断点

dfrac{varphi(x)}{1 f^2(x)}

必有间断点

f(x)varphi(x)

必有间断点

中，命题正确的是哪些？

解答

错误，直接令

f(x) equiv 0

结束

正确，分类讨论：

若

f(x)

无零点连续，则

|f(x)|

无零点连续，故

dfrac{varphi(x)}{|f(x)|}

有间断点

若

f(x)

有零点，则

dfrac{varphi(x)}{|f(x)|}

必有间断点

正确，显然
错误，令

f(x) equiv 0

结束

这里武老师有个小总结：

|f(x)|

有间断点

Rightarrow

f(x)

有间断点

f^2(x)

有间断点

Rightarrow

f(x)

有间断点

f(x)

连续

Rightarrow

|f(x)|

连续反之，都不成立

题目255

设

f(x) = limlimits_{ntoinfty}dfrac{x^{n 2}}{sqrt{2^{2n} x^{2n}}}

，则

f(x)

在其定义域内

(~~)

A.连续 B.有

个可去间断点 C.有

个跳跃间断点 D.有

个第二类间断点

解答

常用极限结论：

limlimits_{ntoinfty} x^n = begin{cases} 0 & ,|x| < 1 \\ infty & ,|x| > 1 \\ 1 & ,x = 1 \\ notexists &,x=-1 end{cases}

分母是两个指数函数相加，谁作为分母无穷大上的最大数量级，考虑分类讨论

|x| < 2

时，

f(x) = limlimits_{ntoinfty}dfrac{(dfrac{x}{2})^{n} cdot x^2}{sqrt{1 (dfrac{x}{2})^{2n}}} = 0

x = 2

时，

f(x) = limlimits_{ntoinfty}dfrac{2^{n 2}}{sqrt{2^{2n 1}}} = 2^{frac{3}{2}}

x = -2

时，

f(x) = limlimits_{ntoinfty}(-1)^{n 2} cdot 2^{frac{3}{2}} = text{不存在}

|x| > 2

时，

f(x) = limlimits_{ntoinfty}dfrac{x^{2}}{sqrt{(dfrac{2}{x})^{2n} 1}} = x^2

故

x = 2

为跳跃间断点

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武忠祥老师每日一题｜第240 - 255题

题目240

解答

题目241

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题目242

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题目243

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题目244

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题目245

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题目246

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题目247

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题目248

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题目249

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题目250

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题目251

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题目252

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题目253

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题目254

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题目255

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