2022-09-20 11:10:13
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题目336
设函数
f(x) 二阶可导，且
f'(x) = f(1-x),f(0) = 1，求
f(x)解答
换元：
f'(1-x) = f(x) quad Rightarrow quad f'(1) = f(0) = 1再求导：
f''(x) = -f'(1 - x)联立两式：
f''(x) f(x) = 0 为 二阶常系数齐次微分方程
特征根：
lambda^2 1 = 0 quadRightarrowquad lambda = 0 pm i齐次通解：
y = C_1cos x C_2 sin x quad Rightarrow quad y' = C_2cos x - C_1sin x代入初值：
y(0) = C_1 = 1,
y'(1) = C_2cos 1 - sin 1 = 1 quad Rightarrow quad C_2 = dfrac{1 sin 1}{cos 1}综上所述：
f(x) = cos x dfrac{1 sin 1}{cos 1} cdot sin x题目337
设函数
f(x) 可导，且对任意实数
x,h 满足
f(x h) = int_x^{x h}t[f(t h) t^2]dt f(x)limlimits_{xto0}[1 f(x)]^{frac{1}{x^4}} = a ，求
f(x) 的表达式及常数
a解答
求
f(x) 的表达式，考虑微分方程；题目又给了
f(x h) 的表达式，考虑导数定义来构造方程
[
f'(x) = lim_{hto0}frac{f(x h) - f(x)}{h} =
lim_{hto0}frac{int_x^{x h} t[f(t h) t^2]dt }{h} = xf(x) x^3
]得到微分方程：
y' - xy = x^3 为 一阶线性微分方程
[
y = e^{int xdx} cdot Big[ int x^3 e^{int-xdx} dx C_1 Big] =
-e^{frac{1}{2}x^2} cdot (x^2 e^{-frac{1}{2}x^2} 2e^{-frac{1}{2}x^2} C_2) =
-x^2 - 2 Ce^{frac{1}{2}x^2}
] 下面这一步是错的，事实上
f(x) = -0.5 Rightarrow a = 0.5^{ infty} = 0 极限也是存在的 这题就是错题，需要额外添加条件
a > 0 且
a ne 1又
limlimits_{xto0}[1 f(x)]^{frac{1}{x^4}} = a 存在，故
f(0) = 0 quadRightarrowquad C = 2 quadRightarrowquad y = -x^2 - 2 2e^{frac{1}{2}x^2}[
begin{aligned}
& lim_{xto0}[1 f(x)]^{frac{1}{x^4}} \\
= & lim_{xto0} (-x^2 - 1 2e^{frac{1}{2}x^2})^{frac{1}{x^4}} \\
= & exp[ lim_{xto0}frac{-x^2-2 2e^{frac{1}{2}x^2}}{x^4} ] \\
= & exp[ lim_{xto0}frac{dfrac{1}{4}x^4 o(x^4)}{x^4} ] \\
= & exp[ frac{1}{4} ] \\
end{aligned}
]故
a = e^frac{1}{4}题目338
设
f(x) 为
[0, infty) 上的正值连续函数，已知曲线
y=int_0^x f(u)du 和
x 轴
及直线
x=t(t>0) 所围区域绕
y 轴旋转所得体积与曲线
y=f(x) 和两坐
标轴及直线
x=t(t>0) 所围区域的面积之和为
t^2，求曲线
y = f(x) 方程
解答
微分方程的几何应用，按照题目要求，列出式子，最后建立方程求解即可
[
V = 2piiintlimits_{D_1}xdsigma = 2piint_0^tdxint_0^{int_0^xf(u)du} xdy = 2piint_0^txint_0^xf(u)dudx
][
S = int_0^t f(u)du
][
t^2 = V S quadRightarrowquad 2piint_0^txint_0^xf(u)dudx int_0^t f(u)du = t^2
]该式对两侧求导，然后令变上限积分函数
g(x) = int_0^x f(u)du，则
g(0) = 0[
2pi tint_0^t f(u)du f(t) = 2t quadRightarrowquad y' 2pi xy = 2x
]此为 变量可分离型 微分方程：
[
frac{dy}{pi y - 1} = -2xdx
quadRightarrowquad
ln(pi y - 1) = - pi x^2 C_1
quadRightarrowquad
y = frac{1}{pi} (Ce^{-pi x^2} 1)
]代入初值：y(0) = (C 1) = 0 C = -1 y = (1 - e{-x2})
两侧对
x 求导，便可得出最终答案：
[
f(x) = 2xe^{-pi x^2}
]
