Author: Colopen 彩色铅笔
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last publication: 2021-12-11 18:00
无条件极值
无条件极值属于多元函数极值中，较为简单的一类问题，其解决的问题描述一般是：
[
text{给定一个多元函数 } z=f(x,y)text{，求解他在实数域上的极值}
] 解决该类问题的思路也很简单，直接沿用我们在 一元函数 中的手段：通过 驻点 找 极值点
用
z 对
x,y 分别求 偏导，然后令 一阶偏导数 为零，找出 驻点
如何判断 驻点 是否是 极值点 ？常用手段是 黑塞矩阵（Hessian Matrix）判别式
他是用于研究函数在一点处 曲率 的变化而存在的（就像一元函数求二阶导数的行为，本质相同）
黑塞矩阵判别式：
begin{vmatrix}f_{xx} & f_{xy} \\f_{yx} & f_{yy}end{vmatrix} xlongequal{?} 0若 黑塞矩阵判别式 ：
- 大于
0，则该驻点是极值点
- 若
f_{xx} > 0 则为极小值点
- 若
f_{xx} < 0 则为极大值点
- 小于
0，则该驻点不是极值点
- 等于
0，则 判别式失效
当 判别式失效 时，我们可以利用 极值的定义，然后通过一个 二元极限 判断该点是否是极值点
- 如果找到两条路径，一条路径极限大于该点值，一条路径极限小于该点值，则非 极值点
- 如果 去心邻域 内的值都大于或小于该驻点的值，则该驻点为极值点
关于 无条件极值，各大辅导书上步骤都有详细讲解，故这里就不准备例题了，只帮助大家理清思路
条件极值
条件极值 是考研中常考的，方法超固定，计算超复杂的一类问题
条件极值 围绕着 目标函数、约束条件 两个关键字展开
求解的是 目标函数 在 约束条件 下的 极值 问题
其问题描述一般为：
[
text{已知函数 }z = f(x,y) text{，求解 }z text{ 在约束条件 } D = {(x,y)|g(x,y)=0}text{ 下的最值}
] 通法 是 拉格朗日数乘法：是一种寻找变量受一个或多个条件所限制的多元函数的极值的方法
构造如下方程组：
[
L(x,y,lambda) = f(x,y) lambda g(x,y) xlongequal{text{令}} 0
][
begin{cases}
L_x = f_x(x,y) lambda g_x(x,y) xlongequal{text{令}} 0
\
L_y = f_y(x,y) lambda g_y(x,y) xlongequal{text{令}} 0
\
L_lambda = g_x(x,y) xlongequal{text{令}} 0
end{cases}
]然后解该方程组，便可以得到 目标函数 在 约束条件 下的 极值点
然后比较几个 极值点，选出 最大最小值 即可
不过 条件极值 难，从来都不是难在做法上，而是构造的 拉格朗日数乘法方程 难解
接下来的内容，将会围绕优化解方程出发，分享几个我常用的方法
利用轮换对称式化简拉格朗日乘子
在下方的 利用齐次式化简拉格朗日乘子 中介绍过：（这个专题我是从下往上写的 w）
拉格朗日函数 是一个 多项式函数，可以利用很多 多项式的特性 对计算进行化简
而本篇中，提到的方法便是 轮换对称式
二元轮换对称式 的定义：
对于一个二元多项式
f(x,y)，如果用
x 代替
y，用
y 代替
x，后 代数式 保持不变，则称
f(x,y) 具有 轮换对称性
上述定义可以扩充到
n 元，此外 二元轮换对称式 也是一个 完全对称式
轮换对称性用简单一个点的话来说就是，如果交换
x,y 后，
f(x,y) 保持不变
对于具有 轮换对称性 的函数，一定有解
y = x因此我们不妨直接让
L_x - L_y 然后提出
(y-x) 的因式
然后分类讨论两个因式分别为
0 的解
【例】设计一个容积为
V 的长方体开口水箱，长宽高分别为多少时最节省材料
【解】根据题意可得 目标函数:
S = 2xz 2zy xy，约束条件
V = xyz构造拉格朗日函数：
L = 2xz 2zy xy lambda (xyz - V) 显然
x,y 具有轮换对称性
[
begin{cases}
L_x = 2z y lambda yz xlongequal{text{令}} 0 \
L_y = 2z x lambda xz xlongequal{text{令}} 0 \
L_z = 2x 2y lambda xy xlongequal{text{令}} 0 \
L_lambda = xyz xlongequal{text{令}} V
end{cases}
]利用轮换对称性，让
L_x - L_y 得：
[
begin{aligned}
(y-x) lambda z(y - x) &= 0 \
(y-x) cdot (1 lambda z) &= 0 \
end{aligned}
]
x = y 时：
L_z: 4x lambda x^2 = 0 Rightarrow x(4 lambda x) = 0 Rightarrow lambda = -dfrac{4}{x}L_lambda : z = dfrac{V}{x^2}，
L_x : dfrac{2V}{x^2} x - 4 cdot dfrac{V}{x^2} = 0 Rightarrow x^3 = 2V Rightarrow x = sqrt[3]{2V}故
begin{cases} x = sqrt[3]{2V} \ y = sqrt[3]{2V} \ z = dfrac{sqrt[3]{V}}{2^{frac{2}{3}}} end{cases}
1 lambda z = 0 时：
L_x : -dfrac{2}{lambda} y - y = 0 Rightarrow dfrac{2}{lambda} = 0 无解
由于题目保证一定有解，故最小值解为：
begin{cases} x = sqrt[3]{2V} \ y = sqrt[3]{2V} \ z = dfrac{sqrt[3]{V}}{2^{frac{2}{3}}} end{cases} 2013年超难解的多元极值问题，就可以利用本技巧化简运算，读者可以去试一下
三角换元法
这个方法很简单，本质就是沿用了大家在 二重积分 里常用的 极直互化 技巧
考虑按照 约束条件 的形式，将 直角坐标 转化成 极坐标 形式
这样就从原来的
f(x,y) 极值问题，转化为
f(r,theta) 极值问题
由于是基于 约束条件 转换的坐标，转化过来后
r,theta 是带着 约束条件 的 取值范围限制
故
f(r,theta) 最后可以通过 三角恒等变形 化成一个
arsin(theta varphi) 的形式
然后就可以根据
r 范围直接写出
f 的 取值范围
【例】
4x^2 y^2 le 25，求
L = x^2 12xy 2y^2 的取值范围
【解】根据 约束条件 的形式，进行 极直互化
不妨令
2x = rcos theta，
y = rsin theta，则
r^2 le 25 Rightarrow (0 le r le 5，
0 le theta le 2pi)对 目标函数 转 极坐标：
[
begin{aligned}
L
&=
x^2 12xy 2y^2
\
&=
dfrac{r^2}{4}cos^2theta 6r^2sinthetacostheta 2r^2sin^2theta
\
&=
dfrac{r^2}{4} cdot dfrac{1 cos 2theta}{2} 3r^2sin 2theta 2r^2cdot dfrac{1-cos 2theta}{2}
\
&=
dfrac{r^2}{8} dfrac{r^2}{8}cos 2theta 3r^2sin 2theta r^2 - r^2cos 2theta
\
&=
dfrac{r^2}{8} cdot bigg({
9 24sin 2theta - 7cos 2theta
}bigg)
\
&=
dfrac{r^2}{8} cdot bigg({
9 sqrt{24^2 7^2} sin(2theta varphi)
}bigg)
\
&=
dfrac{r^2}{8} cdot bigg({
9 25 sin(2theta varphi)
}bigg)
\
end{aligned}
]由于
theta in [0, 2pi], r in [0, 5]，故
f(r,theta)in [-50, dfrac{425}{4}] 该方法同样适用于 三个变量平方和的等式 下
由于是等式，故可以选择两个变量建立极坐标，让第三个变量代替
r 作为参数限制
如下面这题
【例】
x^2 y^2 z^2=10，求
L = xy 2yz 的取值范围
【解】对
L 进行变形：
L = y cdot (x 2z)，考虑围绕
x,z 建立极坐标
对约束条件进行恒等变形：
x^2 z^2 = 10 - y^2建立极坐标：
x = sqrt{10 - y^2} cos theta, z = sqrt{10 - y^2} sin theta易得
-sqrt{10} le y < sqrt{10}，
0 le theta le 2pi对目标函数进行换元：
[
begin{aligned}
L &=
y cdot bigg({
sqrt{10 - y^2} costheta 2sqrt{10 - y^2}sintheta
}bigg)
\
&=
y sqrt{10 - y^2} cdot
sqrt{5} sin (theta varphi)
end{aligned}
]根据
yin[-sqrt{10},sqrt{10}]，有
ysqrt{10-y^2} in [-5, 5] （读者自证不难）
而
sqrt{5} sin (theta varphi) in [-sqrt{5}, sqrt{5}]故
L = y sqrt{10 - y^2} cdot sqrt{5} sin (theta varphi) in [-5sqrt{5}, 5sqrt{5}]利用齐次式化简拉格朗日乘子
部分参考自 [@考研竞赛凯哥]()，及其他参考文献
这一部分，有一些数学知识作为前置铺垫，不过最后得出来的结论相当简单
如果没有想要了解的想法，只是以考试为主要目的的同学，可以直接往下滑
解 多元函数条件极值 问题时，需要用到 拉格朗日乘数法 构造 拉格朗日函数
[
L(x_1,x_2,x_2,lambda) = f(x_1,x_2,x_3) lambda [g(x_1,x_2,x_3) - m]
]其中
lambda 为参数
由于
lambda 是作为参数存在的，故研究 拉格朗日函数 实际上是在研究一个 多项式函数
而当研究对象转换到 多项式函数 后，就可以用到很多 特殊多项式函数 的性质
例如，本篇中会介绍的 齐次函数（如果该次数是二次型，推荐用下一个二次型解法）
k 次式的齐次函数 的 定义 为：
f(lambda x_1,lambda x_2,cdots,lambda x_n) = lambda^kf(x_1,x_2,cdots,x_n)对于
k 次 齐次函数 ，有 齐次函数 的 欧拉定理：
[
x_1dfrac{partial f}{partial x_1} x_2dfrac{partial f}{partial x_2} cdots x_ndfrac{partial f}{partial x_n} = k f(x_1,x_2,cdots,x_n)
] 简单证明：
对于
k 次齐次函数
f(x_1,x_2,cdots,x_n)，对定义式两边求全微分：
[
dfrac{d}{dlambda} f(lambda x_1,lambda x_2,cdots,lambda x_n) = sum_{i=1}^n dfrac{partial f}{partial(lambda x_i)} cdot dfrac{d(lambda x_i)}{dlambda} = sum_{i=1}^n x_i dfrac{partial f}{partial(lambda x_i)}
][
dfrac{d}{dlambda} lambda^k f(x_1,x_2,cdots,x_n) = klambda^{k-1}f(x_1,x_2,cdots,x_n)
]
通过这个 算两次 的思想，由于两个 全微分 必相等，于是：
[
sum_{i=1}^n x_i dfrac{partial f}{partial(lambda x_i)} =
klambda^{k-1}f(x_1,x_2,cdots,x_n)
]
取
lambda = 1，得：
[
sum_{i=1}^n x_i dfrac{partial f}{partial(lambda x_i)} =
kf(x_1,x_2,cdots,x_n) qquad QED
]回到 多元函数条件极值 问题上来
若目标函数
f 和约束条件
g = m 满足
f 和
g 是
k 次多项式，那么
F = f lambda g 也是
k 次多项式。
对于 拉格朗日乘子
L = f lambda(g-m)，
L_x = 0, L_y = 0可以考虑
xL_x yL_y = 0，即
xF_x yF_y = 0（常数
m 求偏导后被干掉了）
根据 欧拉定理，
kF = 0，再根据条件
g = m，
kF = 0 可以进一步化简为
f = -lambda m因此考虑
f 的最值问题，就化为考虑
-lambda m 的最值问题
理论铺垫多说无益，我们直接来一道实战题目进行讲解
题选自李林预测卷，我是在群里找来的到的
【例】求中心在坐标原点的椭圆
x^2 - 4xy 5y^2 = 1 的长半轴和短半轴长度
【解】椭圆长/短半轴长度就是椭圆上离中心点最 远/近 的距离长度
故可以目标函数就是
sqrt{x^2 y^2}，但为了化简计算，不妨设目标函数为
x^2 y^2构造拉格朗日乘数法：
L(x,y,lambda) = x^2 y^2 lambda(x^2 - 4xy 5y^2 - 1)[
begin{cases}
L_x = 2x 2lambda x - 4lambda y xlongequal{text{令}} 0
\
L_y = 2y 10lambda y - 4lambda x xlongequal{text{令}} 0
\
L_lambda = x^2 - 4xy 5y^2 - 1 xlongequal{text{令}} 0
end{cases}
]考虑使用齐次型化简转化研究对象，让
xL_x yL_y：
[
2(x^2 y^2) 2lambda (x^2 - 4xy 5y^2) = 0
]由于已知约束条件
x^2 - 4xy 5y^2 = 1，故直接代入上式得：
[
x^2 y^2 = -lambda
]求
x^2 y^2最值的问题，成功转化为求
-lambda 最值的问题了
由于
(x,y) ne (0,0) 否则肯定不满足第三个方程
L_lambda(0,0) = -1 ne 0故一、二两个方程
L_x 和
L_y 一定含有 非零解，故他们的 系数矩阵行列式 =
0：
[
begin{vmatrix}
2 2lambda & -4lambda \
-4lambda & 2 10lambda
end{vmatrix} = 4lambda^2 24lambda 4 = 0 quadRightarrowquad lambda = -3 pm 2sqrt{2}
]由此可知
x^2 y^2 的最大值为
3 2sqrt{2}，最小值为
3 - 2sqrt{2}对应到
d = sqrt{x^2 y^2}，
d_{min} = sqrt{2} - 1，
d_{max} = sqrt{2} 1利用二次型求解
根据 线性代数 知识我们知道，二次型 化成 标准型，可以通过 正交变换 实现
而 正交变换 有一个非常好的性质：保向量 模长 相等
这样就能利用该 性质，把原有的 约束条件，运用到新坐标下，产生新的 约束条件
适用的题型要求：
- 目标函数
f(x_1,x_2,x_3) 是二次型
- 约束条件
g 只含有平方项，形如
x_1^2 x_2^2 x_3^2 = m这样，我们最终要找的 目标函数 最值，就分别是该 二次型矩阵 的 最大最小特征值
上述为直接结论，我会在下面这道例题中详细讲解原理
【例】求
f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2 x_2^2 3x_3^2-2x_1x_2 在约束条件
x_1^2 x_2^2 x_3^2=1 上的最值
【解】目标函数 是 二次型，且 约束条件 为 平方和，考虑使用 二次型 计算
令 二次型
f 对应的矩阵
A = begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \ -1& 1 & 0 \ 0 & 0 & 3 end{pmatrix}求出
A 的 特征值，令
|A - lambda E| =0[
begin{vmatrix}
1-lambda & -1 & 0 \
-1& 1-lambda & 0 \
0 & 0 & 3-lambda
end{vmatrix} = - (lambda - 3) cdot lambda cdot (lambda - 2)
]故可得特征值：
lambda_1 = 0, lambda_2 = 2, lambda_3 = 3lambda = 0 时：
(A - 0 cdot E) rightarrow begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} quadRightarrowquad xi_1 = begin{pmatrix} 1\ 1\ 0 end{pmatrix} quadRightarrowquad e_1 = dfrac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} 1\ 1\ 0 end{pmatrix}lambda = 2 时：
(A - 2 cdot E) rightarrow begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} quadRightarrowquad xi_2 = begin{pmatrix} -1\ 1\ 0 end{pmatrix} quadRightarrowquad e_1 = dfrac{1}{sqrt{2}}begin{pmatrix} -1\ 1\ 0 end{pmatrix}lambda = 3 时：
(A - 3 cdot E) rightarrow begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} quadRightarrowquad xi_3 = begin{pmatrix} 0\ 0\ 1 end{pmatrix} quadRightarrowquad e_3 = begin{pmatrix} 0\ 0\ 1 end{pmatrix}故存在 正交矩阵
Q = (e_1,e_2,e_3), s.t. Q^TAQ = Lambda = begin{pmatrix} 0 & & \ & 2 & \ & & 3 end{pmatrix}故存在 正交变换
x = Q y, s.t. f(y_1,y_2,y_3) = 2y_2^2 3y_3^2由于 正交变换 是保向量模长的，故
||x|| = ||y|| Rightarrow y_1^2 y_2^2 y_3^2 = x_1^2 x_2^2 x_3^2 = 1故原命题就等价于：目标函数：
f(y_1,y_2,y_3) = 2y_2^2 3y_3^2 在 约束条件：
y_1^2 y_2^2 y_3^2 = 1 下的最值问题
因此，
f 的最大值就是把全部模长分给系数最大的分量，最小值就是分给系数最小的分量
即我在开头说过的，最大最小特征值
故
f_{min} = 0, f_{max} = 3利用常见不等式求解
这里不会使用额外其他的不等式，我只介绍考研中常用的 均值不等式 和 柯西不等式
柯西不等式：
[
(a_1^2 a_2^2 cdots a_n^2) times (b_1^2 b_2^2 cdots b_n^2) ge (a_1b_1 a_2b_2 cdots a_nb_n)^2
]当且仅当
dfrac{a_1}{b_1} = dfrac{a_2}{b_2} = dots = dfrac{a_n}{b_n} 时，等号成立
均值不等式：
[
dfrac{a_1^2 a_2^2 cdots a_n^2}{n} ge sqrt[n]{a_1 cdot a_2 cdots a_n}
]当且仅当
a_1 = a_2 = cdots = a_n 时，等号成立
柯西不等式 建立的是 多项平方和
ge 多项和 的不等式
均值不等式 建立的是 多项平方和
ge 多项积 的不等式
一个是 平方和 到 和，一个是 平方和 到 积，这是我们考虑使用不等式时，首先要考虑的问题
【2018年19题】将
2m 的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形、正三角形。三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。
【解】令铁丝分给三个图形的长度分别为
a ,b, c，则
a b c = 2通过已知周长分别计算出三个图形的面积，应为：
dfrac{a^2}{4pi}, dfrac{b^2}{16}, dfrac{c^2}{12sqrt{3}}故
S = dfrac{a^2}{4pi} dfrac{b^2}{16} dfrac{c^2}{12sqrt{3}}原命题就等价于，目标函数 为
S(a,b,c)，在 约束条件
a b c = 2 下的最小值
目标函数是 多项平方和，约束条件是 多项和，考虑选用 柯西不等式 放缩
构造柯西不等式：
[
begin{aligned}
bigg[(dfrac{a}{2sqrt{pi}})^2 (dfrac{b}{4})^2 (dfrac{c}{sqrt{12sqrt{3}}})^2bigg] cdot bigg[(2sqrt{pi})^2 4^2 (sqrt{12sqrt{3}})^2bigg] &ge (a b c)^2 \
S cdot bigg[4pi 16 12sqrt{3}bigg] &ge 4
\
dfrac{4}{4pi 16 12sqrt{3}} &le S
\
dfrac{1}{pi 4 3sqrt{3}} &le S
end{aligned}
]故
S_{min} = dfrac{1}{pi 4 3sqrt{3}}，当且仅当
dfrac{a}{4pi} = dfrac{b}{16} = dfrac{c}{12sqrt{3}} 时等号成立
【2021年数一】设
x,y,z，满足
begin{cases} x^2 2y^2-z = 6 \ 4x 2y z = 30 end{cases}，求
z 的取值范围
【解】目标函数
z，约束条件
begin{cases} x^2 2y^2 = z 6 \ 4x 2y = 30 - z end{cases}- 式左侧是 多项平方和，(2) 式左侧式 多项和 考虑 柯西不等式 放缩
构造 柯西不等式：
[
begin{aligned}
(x^2 (sqrt{2} y)^2) cdot (4^2 (sqrt{2})^2) &ge (4x 2y)^2
\
(z 6) cdot 18 &ge (30 - z)^2
\
z^2 - 78z 792 &le 0
\
(z - 12)(z - 66) &le 0
\
end{aligned}
]故
zin[12, 66]
