注意力机制到底在做什么，Q/K/V怎么来的？一文读懂Attention注意力机制

2022-09-20 19:38:53 浏览数 (2)

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Transformer[^1]论文中使用了注意力Attention机制，注意力Attention机制的最核心的公式为：

Attention(Q, K, V) = Softmax(frac{QK^top}{sqrt{d_{k}}})V

这个公式中的Q、K和V分别代表Query、Key和Value，他们之间进行的数学计算并不容易理解。

从向量点乘说起

我们先从

Softmax(mathbf{X}mathbf{X}^top)mathbf{X}

这样一个公式开始。

首先需要复习一下向量点乘（Dot Product）的概念。对于两个行向量

mathbf{x}

和

mathbf{y}

：

mathbf{x} = [x_{0}, x_{1}, cdots , x_{n}]
mathbf{y} = [y_{0}, y_{1}, cdots , y_{n}]
mathbf{x} cdot mathbf{y} = x_{0}y_{0} x_{1}y_{1} cdots x_{n}y_{n}

向量点乘的几何意义是：向量

mathbf{x}

在向量

mathbf{y}

方向上的投影再与向量

mathbf{y}

的乘积，能够反应两个向量的相似度。向量点乘结果大，两个向量越相似。

一个矩阵

mathbf{X}

由

n

行向量组成。比如，我们可以将某一行向量

mathbf{x}_{i}

理解成一个词的词向量，共有

n

个行向量组成

n times n

的方形矩阵：

mathbf{X} = left[ begin{matrix} mathbf{x}_{0} \ mathbf{x}_{1} \ vdots \ mathbf{x}_{n} end{matrix} right] mathbf{X}^top = left[ begin{matrix} mathbf{x}_{0}^top & mathbf{x}_{1}^top & cdots & mathbf{x}_{n}^top end{matrix} right]

矩阵

mathbf{X}

与矩阵的转置

mathbf{X}^top

相乘，

mathbf{X}

中的每一行与

mathbf{X}^top

的每一列相乘得到目标矩阵的一个元素，

mathbf{X}mathbf{X}^top

可表示为：

mathbf{X}mathbf{X}^top = left[ begin{matrix} mathbf{x}_{0}cdot mathbf{x}_{0} & mathbf{x}_{0}cdot mathbf{x}_{1} & cdots & mathbf{x}_{0} cdot mathbf{x}_{n} \ mathbf{x}_{1}cdot mathbf{x}_{0} & mathbf{x}_{1}cdot mathbf{x}_{1} & cdots & mathbf{x}_{1} cdot mathbf{x}_{n} \ vdots & vdots & vdots & vdots \ mathbf{x}_{n}cdot mathbf{x}_{0} & mathbf{x}_{n}cdot mathbf{x}_{1} & cdots & mathbf{x}_{n} cdot mathbf{x}_{n} \ end{matrix} right]

以

mathbf{X}mathbf{X}^top

中的第一行第一列元素为例，其实是向量

mathbf{x}_{0}

与

mathbf{x}_{0}

自身做点乘，其实就是

mathbf{x}_{0}

自身与自身的相似度，那第一行第二列元素就是

mathbf{x}_{0}

与

mathbf{x}_{1}

之间的相似度。

下面以词向量矩阵为例，这个矩阵中，每行为一个词的词向量。矩阵与自身的转置相乘，生成了目标矩阵，目标矩阵其实就是一个词的词向量与各个词的词向量的相似度。

词向量矩阵相乘

如果再加上Softmax呢？我们进行下面的计算：

Softmax(mathbf{X}mathbf{X}^top)

。Softmax的作用是对向量做归一化，那么就是对相似度的归一化，得到了一个归一化之后的权重矩阵，矩阵中，某个值的权重越大，表示相似度越高。

相似度矩阵的归一化

在这个基础上，再进一步：

Softmax(mathbf{X}mathbf{X}^top)mathbf{X}

，将得到的归一化的权重矩阵与词向量矩阵相乘。权重矩阵中某一行分别与词向量的一列相乘，词向量矩阵的一列其实代表着不同词的某一维度。经过这样一个矩阵相乘，相当于一个加权求和的过程，得到结果词向量是经过加权求和之后的新表示，而权重矩阵是经过相似度和归一化计算得到的。

通过与权重矩阵相乘，完成加权求和过程

Q、K、V

注意力Attention机制的最核心的公式为：

Softmax(frac{QK^top}{sqrt{d_{k}}})V

，与我们刚才分析的

Softmax(mathbf{X}mathbf{X}^top)mathbf{X}

有几分相似。Transformer[^1]论文中将这个Attention公式描述为：Scaled Dot-Product Attention。其中，Q为Query、K为Key、V为Value。Q、K、V是从哪儿来的呢？Q、K、V其实都是从同样的输入矩阵X线性变换而来的。我们可以简单理解成：

Q = XW^Q \ K = XW^K \ V = XW^V

用图片演示为：

X分别乘以三个矩阵，生成Q、K、V矩阵

其中，

W^Q

，

W^K

和

W^V

是三个可训练的参数矩阵。输入矩阵

X

分别与

W^Q

，

W^K

和

W^V

相乘，生成

Q

、

K

和

V

，相当于经历了一次线性变换。Attention不直接使用

X

，而是使用经过矩阵乘法生成的这三个矩阵，因为使用三个可训练的参数矩阵，可增强模型的拟合能力。

Scaled Dot-Product Attention

在这张图中，

Q

与

K^top

经过MatMul，生成了相似度矩阵。对相似度矩阵每个元素除以

sqrt{d_k}

，

d_k

为

K

的维度大小。这个除法被称为Scale。当

d_k

很大时，

QK^top

的乘法结果方差变大，进行Scale可以使方差变小，训练时梯度更新更稳定。

Mask是机器翻译等自然语言处理任务中经常使用的环节。在机器翻译等NLP场景中，每个样本句子的长短不同，对于句子结束之后的位置，无需参与相似度的计算，否则影响Softmax的计算结果。

我们用国外博主Transformer详解博文[^2]中的例子来将上述计算串联起来解释。

输入为词向量矩阵X，每个词为矩阵中的一行，经过与W进行矩阵乘法，首先生成Q、K和V。q1 = X1 * WQ，q1为Q矩阵中的行向量，k1等与之类似。

从词向量到Q、K、V

第二步是进行

QK^top

计算，得到相似度。

Q与K相乘，得到相似度

第三步，将刚得到的相似度除以

sqrt{d_k}

，再进行Softmax。经过Softmax的归一化后，每个值是一个大于0小于1的权重系数，且总和为0，这个结果可以被理解成一个权重矩阵。

Scale & Softmax

第四步是使用刚得到的权重矩阵，与V相乘，计算加权求和。

使用权重矩阵与V相乘，得到加权求和

多头注意力

为了增强拟合性能，Transformer对Attention继续扩展，提出了多头注意力（Multiple Head Attention）。刚才我们已经理解了，

Q

、

K

、

V

是输入

X

与

W^Q

、

W^K

和

W^V

分别相乘得到的，

W^Q

、

W^K

和

W^V

是可训练的参数矩阵。现在，对于同样的输入

X

，我们定义多组不同的

W^Q

、

W^K

、

W^V

，比如

W^Q_0

、

W^K_0

、

W^V_0

，

W^Q_1

、

W^K_1

和

W^V_1

，每组分别计算生成不同的

Q

、

K

、

V

，最后学习到不同的参数。

定义多组W，生成多组Q、K、V

比如我们定义8组参数，同样的输入

X

，将得到8个不同的输出

Z_0

到

Z_7

。

假如定义8组参数

在输出到下一层前，我们需要将8个输出拼接到一起，乘以矩阵

W^O

，将维度降低回我们想要的维度。

将多组输出拼接后乘以矩阵Wo以降低维度

多头注意力的计算过程如下图所示。对于下图中的第2）步，当前为第一层时，直接对输入词进行编码，生成词向量X；当前为后续层时，直接使用上一层输出。

多头注意力计算过程

再去观察Transformer论文中给出的多头注意力图示，似乎更容易理解了：

Transformer论文给出的多头注意力图示

[^1]: Vaswani A, Shazeer N, Parmar N, et al. Attention is all you need. 31st Conference on Neural Information Processing Systems 2017(NIPS 2017). Long Beach, CA, USA: 2017: 5998–6008.

[^2]: https://jalammar.github.io/illustrated-transformer/

dot key nlp product scale

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